Seja tal que a matriz de com relação a uma base ortonormal de é dada por
T é uma isometria? Justifique enunciando cada teorema utilizado.
Passo 1
Então, o que a questão está pedindo é saber se a transformação linear A=(ccc 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 ) definida pela matriz
é uma isometria em . Uma isometria é uma transformação que preserva as distâncias entre os vetores. Para verificar isso, vamos precisar entender sobre matrizes ortogonais e como elas estão relacionadas às isometrias.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que uma transformação linear é uma isometria se, e somente se, sua matriz associada for uma matriz ortogonal. Mas o que é uma matriz ortogonal? É uma matriz quadrada cujo transposto é igual ao seu inverso, ou seja, , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Então, nosso próximo passo é calcular o transposto de A^T = (ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 ) , que é a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas. Vamos fazer isso:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar A^T A = (ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 0 ) (ccc 0 & 0 & -1 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 ) = (ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ) = I por para verificar se o resultado é a matriz identidade:
Como vimos, .
Passo 5
Já que , isso confirma que é uma matriz ortogonal. De acordo com o teorema que relaciona matrizes ortogonais e isometrias, se a matriz de uma transformação linear é ortogonal, então essa transformação é uma isometria.
Resposta
Sim, é uma isometria porque sua matriz é ortogonal, já que .