Determine o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo entre as retas
r:lx=t y=n t-1 ; t in R e s: eixo Oy z=2 t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional e queremos descobrir o valor de que faz com que o ângulo entre elas seja de . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e vetores, especificamente a fórmula para o ângulo entre duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas x = t y = n t -1 z = 2 t e 1 n 2 . A reta x = 0 y = t z = 0 é descrita pelas equações paramétricas:
0 1 0
onde . Isso significa que o vetor diretor da reta é .
A reta é o eixo , que tem como equação paramétrica:
O vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do ângulo cos theta = u cdot v|u| , |v| entre duas retas, que é dada por:
onde é o produto escalar dos vetores diretores e , são os módulos desses vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = (1)(0) + (n)(1) + (2)(0) = n :
|u| = raiz1^2 + n^2 + 2^2 = raiz1 + n^2 + 4 = raizn^2 + 5
O módulo de |v| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1 é:
cos 30^circ = nraizn^2 + 5 cdot 1 Rightarrow raiz32 = nraizn^2 + 5
O módulo de é:
Substituindo na fórmula do cosseno:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
Multiplicando ambos os lados por raiz32 raizn^2 + 5 = n :
(raiz32)^2 (n^2 + 5) = n^2 Rightarrow 34(n^2 + 5) = n^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
3(n^2 + 5) = 4n^2 Rightarrow 3n^2 + 15 = 4n^2
Multiplicando ambos os lados por 4:
15 = n^2 Rightarrow n = raiz15 ou n = -raiz15
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são ou .

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