Determine o ângulo entre as retas r e s.
r:ly=-2 x+3 z=x-2 e s:lx=4 y=-z-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar o ângulo entre duas retas no espaço, as retas e . Para isso, vamos precisar identificar os vetores de direção de cada reta e usar a fórmula do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor de direção da reta r: y = -2x + 3 z = x - 2 . Olhando para as equações dadas:
y = -2t + 3 z = t - 2
Podemos parametrizar a reta em função de vr = 1 -2 1 . Vamos chamar , então:
O vetor de direção de é então dado pelos coeficientes de :

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor de direção da reta s: x = 4 y = -z - 1 . As equações de x = 4 y = -t - 1 são:
vs = 0 -1 1
Aqui, é constante, então a reta é paralela ao eixo . Podemos parametrizar , então:
O vetor de direção de é:

Passo 4

Para achar o ângulo entre as duas retas, usamos a fórmula do ângulo cos(theta) = vr cdot vs|vr| |vs| entre dois vetores:
vr cdot vs = (1)(0) + (-2)(-1) + (1)(1) = 0 + 2 + 1 = 3
Primeiro, calculamos o produto escalar |vr| = raiz1^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 :
|vs| = raiz0^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
Agora, as magnitudes dos vetores:
cos(theta) = 3raiz6 times raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3 = raiz32
theta = arccos(raiz32) = 30^circ
Substituindo na fórmula:
Finalmente, encontramos o ângulo:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

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