C) Com base nos coeficientes das séries encontradas em A) determine
, sem efetuar cálculo algum.
Passo 1
No enunciado, precisamos determinar a terceira derivada de
em 0, ou seja,
, com base nos coeficientes das séries encontradas na parte A). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor (ou séries de Maclaurin) e entender como os coeficientes da série se relacionam com as derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série de Maclaurin de uma função
é dada por:
Aqui, cada termo
é o coeficiente da potência
na série.
Passo 3
Para encontrar
, observamos o coeficiente do termo
na série de Maclaurin. Esse coeficiente é:
Passo 4
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados da equação pelo fatorial de 3, que é
: