C) Com base nos coeficientes das séries encontradas em A) determine f^(3)(0), sem efetuar cálculo algum.

Passo 1

No enunciado, precisamos determinar a terceira derivada de em 0, ou seja, , com base nos coeficientes das séries encontradas na parte A). Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de séries de Taylor (ou séries de Maclaurin) e entender como os coeficientes da série se relacionam com as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Maclaurin de uma função é dada por:
Aqui, cada termo é o coeficiente da potência na série.

Passo 3

Para encontrar , observamos o coeficiente do termo na série de Maclaurin. Esse coeficiente é:

Passo 4

Para isolar , multiplicamos ambos os lados da equação pelo fatorial de 3, que é :

Resposta

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Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a.
Calcule os limites laterais de f(x) no ponto a = -2: f(x) = (x + 3) / (x + 2).
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
f) S = -pi^2 / (4^2 * 2!) + pi^4 / (4^4 * 4!) + -pi^6 / (4^6 * 6!) + ...
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de f no ponto a.
Calcule os limites laterais de f(x) no ponto a = -2: f(x) = (x + 3) * |x + 2| / (x + 2).
Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
b) sum an 8^n