Suponha que a séric
convirja e que
divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos duas séries envolvendo os termos
:
- A série alternada
converge. - A série
diverge.
Queremos descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de raio de convergência de séries de potências e o teste da razão.
Passo 2
A série de potências geral tem a forma
, onde
é uma variável. O raio de convergência
é o valor tal que a série converge para
e diverge para
.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar a série que converge:
. Como é uma série alternada que converge, pelo Teste da Alternância, sabemos que os termos
diminuem e tendem a zero. Isso nos indica que
está dentro do raio de convergência, ou seja,
.
Passo 4
Agora, consideramos a série que diverge:
. Se
, isso confirma que a série diverge fora do raio de convergência. Portanto, temos
.
Passo 5
Com essas duas informações, sabemos que o raio de convergência
está entre 4 e 6:
.
Passo 6
Queremos saber sobre a série
. Como
e já sabemos que
, então
. Isso significa que
está fora do raio de convergência.
Resposta
A série
diverge.