Suponha que a séric sum(-1)^n an 4^n convirja e que sum an 6^n divirja. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das seguintes séries
b) sum an 8^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos duas séries envolvendo os termos :
  1. A série alternada converge.
  2. A série diverge.
Queremos descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o conceito de raio de convergência de séries de potências e o teste da razão.

Passo 2

A série de potências geral tem a forma , onde é uma variável. O raio de convergência é o valor tal que a série converge para e diverge para .

Passo 3

Primeiro, vamos analisar a série que converge: . Como é uma série alternada que converge, pelo Teste da Alternância, sabemos que os termos diminuem e tendem a zero. Isso nos indica que está dentro do raio de convergência, ou seja, .

Passo 4

Agora, consideramos a série que diverge: . Se , isso confirma que a série diverge fora do raio de convergência. Portanto, temos .

Passo 5

Com essas duas informações, sabemos que o raio de convergência está entre 4 e 6: .

Passo 6

Queremos saber sobre a série . Como e já sabemos que , então . Isso significa que está fora do raio de convergência.

Resposta

A série diverge.

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