Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série que é:
O objetivo aqui é dois:
- Expressar essa série usando a notação de somatório.
- Identificar qual série de Maclaurin conhecida ela se assemelha e determinar para quais valores de
essa série converge, ou seja, dá um resultado finito.
Vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin das funções elementares, como seno, cosseno, exponencial, etc., e entender conceitos de convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar expressar a série dada usando a notação de somatório. Observando os termos, vemos que:
- O numerador tem potências de
elevadas a números pares: - O denominador tem potências de
também elevadas a números pares: - Além disso, temos o fatorial dos mesmo números pares:
- E os sinais alternam entre negativo e positivo.
Então, podemos generalizar o
-ésimo termo da série como:
Portanto, a série pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa série com as séries de Maclaurin que conhecemos. A série de Maclaurin para o cosseno é:
Comparando com a nossa série
, percebemos que ela se parece muito com a série do cosseno, mas com alguns ajustes:
- Em
, temos em vez de . - Além disso, nossa série começa a partir de
em vez de .
Então, podemos reescrever
como:
Passo 4
Para entender melhor, vamos reescrever a série do cosseno incluindo
:
Nosso
começa em
, então podemos expressá-lo como:
Sabendo que
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor de
. Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 6
Por fim, vamos falar sobre a convergência da série. A série do cosseno é uma série de Maclaurin que converge para
para todo valor de
real. Isso significa que, independentemente do valor que
assume, a série sempre dará um resultado finito.
No nosso caso, estamos substituindo
por
, que é apenas um número real específico. Portanto, a série
também converge para um valor finito, que acabamos de calcular.
Resposta
A série pode ser expressa como
. A série converge para esse valor.
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as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
d)
d)
Nos exercícios
, calcule
.
a parte do paraboloide
que está situada acima do plano
.
Em cada caso abaixo, calcule os limites laterais de
no ponto
.
Calcule os limites laterais de no ponto
:
.
Calcule os limites laterais de
C) Com base nos coeficientes das séries encontradas em A) determine
, sem efetuar cálculo algum.