Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
f) S = -pi^2 / (4^2 * 2!) + pi^4 / (4^4 * 4!) + -pi^6 / (4^6 * 6!) + ...

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série que é:
O objetivo aqui é dois:
  1. Expressar essa série usando a notação de somatório.
  2. Identificar qual série de Maclaurin conhecida ela se assemelha e determinar para quais valores de essa série converge, ou seja, dá um resultado finito.
Vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin das funções elementares, como seno, cosseno, exponencial, etc., e entender conceitos de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar expressar a série dada usando a notação de somatório. Observando os termos, vemos que:
  • O numerador tem potências de elevadas a números pares:
  • O denominador tem potências de também elevadas a números pares:
  • Além disso, temos o fatorial dos mesmo números pares:
  • E os sinais alternam entre negativo e positivo.
Então, podemos generalizar o -ésimo termo da série como:
Portanto, a série pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa série com as séries de Maclaurin que conhecemos. A série de Maclaurin para o cosseno é:
Comparando com a nossa série , percebemos que ela se parece muito com a série do cosseno, mas com alguns ajustes:
  • Em , temos em vez de .
  • Além disso, nossa série começa a partir de em vez de .
Então, podemos reescrever como:

Passo 4

Para entender melhor, vamos reescrever a série do cosseno incluindo :
Nosso começa em , então podemos expressá-lo como:
Sabendo que e :

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de . Sabemos que:
Então, substituindo na expressão de :

Passo 6

Por fim, vamos falar sobre a convergência da série. A série do cosseno é uma série de Maclaurin que converge para para todo valor de real. Isso significa que, independentemente do valor que assume, a série sempre dará um resultado finito.
No nosso caso, estamos substituindo por , que é apenas um número real específico. Portanto, a série também converge para um valor finito, que acabamos de calcular.

Resposta

A série pode ser expressa como . A série converge para esse valor.

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