c) Calcule .

Passo 1

Vamos calcular a integral . Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos usar técnicas de cálculo que envolvem substituição e limites.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a função dentro da integral é . Para integrar isso, usamos a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Podemos rearranjar isso para obter .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
A integral de em relação a é simplesmente , então:

Passo 5

Voltando à variável original , substituímos :
Esta é a primitiva da função .

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até :

Passo 7

Calculando o limite quando tende ao infinito:
Portanto, a expressão fica:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

a) Mostre que a integral é divergente.
Nos exercícios abaixo, resolva para e represente a solução na reta numérica.
Calcule