c) Calcule
.
Passo 1
Vamos calcular a integral
. Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos usar técnicas de cálculo que envolvem substituição e limites.
Passo 2
Primeiro, percebemos que a função dentro da integral é
. Para integrar isso, usamos a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável para simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
. Podemos rearranjar isso para obter
.
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, então:
Passo 5
Voltando à variável original
, substituímos
:
Esta é a primitiva da função
.
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até
:
Passo 7
Calculando o limite quando
tende ao infinito:
Portanto, a expressão fica:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
a) Mostre que a integral
é divergente.
Nos exercícios abaixo, resolva para
e represente a solução na reta numérica.
Calcule