c) Calcule integral1^infty x e^-x^2 d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral . Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, vamos usar técnicas de cálculo que envolvem substituição e limites.

Passo 2

Primeiro, percebemos que a função dentro da integral é . Para integrar isso, usamos a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, . Podemos rearranjar isso para obter .

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral x e^-x^2 , dx = integral e^u (-12 du) = -12 integral e^u , du
A integral de -12 e^u + C em relação a é simplesmente , então:

Passo 5

Voltando à variável original -12 e^-x^2 + C , substituímos :
Esta é a primitiva da função .

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até [-12 e^-x^2]1^infty = limb to infty (-12 e^-b^2) - (-12 e^-1) :

Passo 7

Calculando o limite quando limb to infty -12 e^-b^2 = 0 tende ao infinito:
0 - (-12 e^-1) = 12 e^-1
Portanto, a expressão fica:

Resposta

A integral é igual a .

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