Calcule
integral0^raizpi2 integral0^x tan (theta^2) d theta d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integração dupla. A questão pede para calcular o integral duplo de tan(theta^2) onde theta varia de 0 até x, e depois x varia de 0 até raizpi2. Vamos precisar entender um pouco sobre integração dupla e mudar a ordem de integração para facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos 0 <= theta <= x e 0 <= x <= raizpi2. Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que theta será a primeira variável a integrar, e para cada valor de theta, x varia de theta até raizpi2.

Passo 3

Agora, reescrevemos o integral com a nova ordem de integração:
integral0^raizpi2 integraltheta^raizpi2 tan(theta^2) , dx , dtheta
Perceba que tan(theta^2) não depende de x, então podemos simplificar a integração em relação a x.

Passo 4

Vamos integrar em relação a x:
integraltheta^raizpi2 tan(theta^2) , dx = tan(theta^2) cdot ( raizpi2 - theta )
Então, nosso integral agora fica:
integral0^raizpi2 tan(theta^2) cdot ( raizpi2 - theta ) , dtheta

Passo 5

Infelizmente, a função tan(theta^2) não tem uma primitiva que possa ser expressa em termos de funções elementares. Porém, podemos deixar o integral nessa forma ou aproximá-lo numericamente se necessário.

Resposta

O valor do integral é dado por
integral0^raizpi2 tan(theta^2) ( raizpi2 - theta ) dtheta

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