Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integração dupla. A questão pede para calcular o integral duplo de onde varia de até , e depois varia de até . Vamos precisar entender um pouco sobre integração dupla e mudar a ordem de integração para facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos e . Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que será a primeira variável a integrar, e para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Agora, reescrevemos o integral com a nova ordem de integração:
Perceba que não depende de , então podemos simplificar a integração em relação a .

Passo 4

Vamos integrar em relação a :
Então, nosso integral agora fica:

Passo 5

Infelizmente, a função não tem uma primitiva que possa ser expressa em termos de funções elementares. Porém, podemos deixar o integral nessa forma ou aproximá-lo numericamente se necessário.

Resposta

O valor do integral é dado por

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c) Calcule .
a) Mostre que a integral é divergente.