integral sen x cos x d x d sin ^3 x d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de sin x cos x cdot sin^3 x , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões trigonométricas e aplicar técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos sin x cos x cdot sin^3 x. Podemos reescrever isso multiplicando os termos de seno:
sin x cdot sin^3 x cdot cos x = sin^4 x cdot cos x
Então, a integral fica:
integral sin^4 x cos x , dx

Passo 3

Agora, para integrar sin^4 x cos x , dx, vamos usar a técnica de substituição. A ideia é identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece na integral.
Vamos fazer a seguinte substituição:
u = sin x
Então, a derivada de u em relação a x é:
du = cos x , dx

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever a integral em termos de u:
integral sin^4 x cos x , dx = integral u^4 , du
Isso simplifica muito o processo de integração, já que integramos uma função polinomial em u.

Passo 5

Agora, vamos integrar u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
u^55 + C = (sin x)^55 + C = sin^5 x5 + C

Resposta

A integral de sin x cos x cdot sin^3 x , dx é:
sin^5 x5 + C

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