a) Mostre que a integral
é divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a integral
é divergente. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais impróprias, que tratam de integrais com limites infinitos ou funções que se tornam infinitas em algum ponto do intervalo de integração.
Passo 2
Para resolver essa integral, vamos utilizar o conceito de limite. Como o limite superior da integral é infinito, reescrevemos a integral imprópria como um limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
. A primitiva de
é
, então:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 4
Voltando ao limite, temos:
Sabemos que, à medida que
cresce indefinidamente,
também cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.
Resposta
Portanto,
é divergente, pois o limite
.