a) Mostre que a integral integral1^infty 1x d x é divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a integral é divergente. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais impróprias, que tratam de integrais com limites infinitos ou funções que se tornam infinitas em algum ponto do intervalo de integração.

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos utilizar o conceito de limite. Como o limite superior da integral é infinito, reescrevemos a integral imprópria como um limite:
integral1^infty 1x , dx = limb to infty integral1^b 1x , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral1^b 1x , dx = [ ln x ]1^b = ln b - ln 1 . A primitiva de ln b é , então:
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 4

Voltando ao limite, temos:
limb to infty ln b
Sabemos que, à medida que cresce indefinidamente, também cresce sem limite, ou seja, tende ao infinito.

Resposta

Portanto, é divergente, pois o limite .

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