c) Calcule integralinfty^infty sen(a alpha) cos (alpha x)alpha d alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e propriedades de funções trigonométricas. Precisaremos entender como simplificar a expressão dentro da integral e aplicar fórmulas conhecidas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando . Para facilitar, vamos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com sen A cos B = sen(A + B) + sen(A - B)2 e sen(a alpha) cos(x alpha) = sen((a + x)alpha) + sen((a - x)alpha)2 , temos:

Passo 3

Substituindo essa expressão na integral original, ficamos com:
Isso pode ser separado em duas integrais:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante das integrais envolvendo funções ímpares. Sabemos que:
onde integral-infty^infty sen(k alpha)alpha dalpha = pi cdot sgn(k) é a função sinal, que vale se , se e se .

Passo 5

Aplicando essa propriedade às duas integrais que temos:
Substituindo de volta na expressão original:
integral-infty^infty sen((a + x)alpha)alpha dalpha = pi cdot sgn(a + x)

Passo 6

Dependendo dos valores de e , a soma dos sinais pode variar:
  • Se , então e , então a soma é .
  • Se , então e , então a soma é .
  • Se , então e , então a soma é .

Passo 7

Portanto, a integral avaliada fica:

Resposta

A integral vale:

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