c) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de a . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral e propriedades de funções trigonométricas. Precisaremos entender como simplificar a expressão dentro da integral e aplicar fórmulas conhecidas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando . Para facilitar, vamos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade com e , temos:

Passo 3

Substituindo essa expressão na integral original, ficamos com:
Isso pode ser separado em duas integrais:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar de uma propriedade importante das integrais envolvendo funções ímpares. Sabemos que:
onde é a função sinal, que vale se , se e se .

Passo 5

Aplicando essa propriedade às duas integrais que temos:
Substituindo de volta na expressão original:

Passo 6

Dependendo dos valores de e , a soma dos sinais pode variar:
  • Se , então e , então a soma é .
  • Se , então e , então a soma é .
  • Se , então e , então a soma é .

Passo 7

Portanto, a integral avaliada fica:

Resposta

A integral vale:

Exercícios relacionados

Resolva a equação integral dada em relação à função .
a)
Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.
b)
(2,0 pontos) Encontre a derivada das seguintes funçues:
(a)
(1,0 pontos) Determine a equação da reta tangente a curva descrita implicitamente por no ponto .