Resolva a equação integral dada em relação à função f.
a) integral0^infty f(x) cos (alpha x) d x=e^-alpha

Passo 1

Nesta questão, precisamos resolver a equação integral integral0^infty f(x) cos (alpha x) , dx = e^-alpha. O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Fourier Cosseno. Para resolver, vamos precisar utilizar a transformada inversa dessa transformada para encontrar a função f(x).

Passo 2

A Transformada de Fourier Cosseno de uma função f(x) é definida por:
Fc(f)(alpha) = integral0^infty f(x) cos (alpha x) , dx
Dada a equação:
integral0^infty f(x) cos (alpha x) , dx = e^-alpha
Podemos identificar que:
Fc(f)(alpha) = e^-alpha
Para encontrar f(x), precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier Cosseno, que é dada por:
f(x) = 2pi integral0^infty Fc(f)(alpha) cos (alpha x) , dalpha

Passo 3

Substituindo Fc(f)(alpha) = e^-alpha na transformada inversa, temos:
f(x) = 2pi integral0^infty e^-alpha cos (alpha x) , dalpha
Essa integral é conhecida e resulta em:
integral0^infty e^-alpha cos (alpha x) , dalpha = 11 + x^2
Portanto, substituindo de volta:
f(x) = 2pi cdot 11 + x^2

Resposta

A função que resolve a equação é:
f(x) = 2pi cdot 11 + x^2

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