(1,0 pontos) Determine a equação da reta tangente a curva y = f(x) descrita implicitamente por ln(y) = 1 + x y no ponto (-1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva definida pela equação implícita no ponto . Para isso, vamos usar derivação implícita para achar a inclinação da reta tangente e, depois, montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que, ao derivar , usamos a regra da cadeia:
E derivando o lado direito:

Passo 3

Igualando as derivadas dos dois lados:
Agora, vamos isolar :

Passo 4

Simplificando a expressão para :

Passo 5

Agora, substituímos o ponto na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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