Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as representações da função
para
usando integrais de cosseno e seno. Isso envolve o estudo das transformadas de Fourier, especificamente as transformadas de cosseno e seno. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essas transformadas a funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as transformadas de Fourier de cosseno e seno. A transformada de cosseno é usada para funções pares e é definida por:
Já a transformada de seno é usada para funções ímpares e é definida por:
Essas transformadas nos permitem expressar a função original como uma integral que envolve funções trigonométricas.
Passo 3
Vamos calcular a transformada de cosseno para
. Substituindo na fórmula:
Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula de integração por partes ou tabelas de integrais conhecidas. Sabemos que:
Aqui,
e
. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a transformada de seno para a mesma função:
Usando uma fórmula similar:
Substituindo
e
:
Resposta
As representações da função
para
são:
Integral de cosseno:
Integral de seno: