Calcular a derivada direcional dos campos escalares, no ponto e direção indicados: na direção de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional de um campo escalar no ponto na direção do vetor . Isso está ligado ao assunto de cálculo multivariável, mais especificamente sobre como encontrar a taxa de variação de uma função em uma direção específica. Para resolver, vamos precisar do gradiente da função e do vetor unitário na direção indicada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Calculando as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Portanto, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . Para isso, dividimos o vetor pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de com o vetor unitário na direção desejada:
Substituindo os valores que encontramos:
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é:

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