Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera não condutora que é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio e carga elétrica total . Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico em todo o espaço e, depois, fazer um gráfico de em função do raio variando de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em um ponto é obtido integrando o campo elétrico nesse ponto. Mas antes de mais nada, precisamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço definidos pelas esferas.
Passo 3
Vamos dividir o espaço em três regiões baseadas nos raios:
Região 1: – Dentro da esfera não condutora.
Região 2: – Entre a esfera não condutora e a casca condutora.
Região 3: – Fora da casca condutora.
Passo 4
Região 1 ():
Dentro da esfera não condutora, assumimos que a carga está distribuída de forma uniforme. O campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente é dado por:
Aqui, é a carga dentro de um raio .
Passo 5
Região 2 ():
Entre a esfera não condutora e a casca condutora, o campo elétrico é afetado pela carga da casca. No entanto, por ser uma casca condutora, a carga reside na superfície externa. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico nessa região ainda depende apenas da carga interna, que é .
Passo 6
Região 3 ():
Fora da casca condutora, a carga total é a soma das cargas da esfera não condutora e da casca. Então, a carga total é .
Passo 7
Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, podemos integrar para encontrar o potencial elétrico . Lembrando que:
Como estamos calculando em relação a várias regiões, ajustaremos os limites de integração conforme necessário.
Passo 8
Região 1 ():
Integrando o campo elétrico:
Região 2 ():
Região 3 ():
Passo 9
Por fim, para o gráfico em função de no intervalo , teremos:
De a : diminui quadraticamente.
De a : diminui inversamente proporcional a .
Acima de : continua a decair inversamente proporcional a , mas com sinal negativo.
Isso resulta em uma curva contínua que mostra o potencial diminuindo inicialmente de forma mais acentuada e depois de maneira mais suave conforme aumentamos o raio.
Resposta
O potencial elétrico em todo o espaço é dado por:
O gráfico de em função de no intervalo apresenta uma curva contínua que inicia com um decaimento quadrático dentro da esfera não condutora, seguido por um decaimento inverso entre as esferas, e finalmente um decaimento inversamente proporcional ao raio fora da casca condutora.