© Considere que a esfera não condutora do item a) é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio 3 R e carga elétrica total -2 Q. Calcule o potencial elétrico V em todo o espaço e realize um gráfico V(r) em função do raio r in[0,6 R].

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera não condutora que é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio e carga elétrica total . Nosso objetivo aqui é calcular o potencial elétrico em todo o espaço e, depois, fazer um gráfico de em função do raio variando de até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico em um ponto é obtido integrando o campo elétrico nesse ponto. Mas antes de mais nada, precisamos determinar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço definidos pelas esferas.

Passo 3

Vamos dividir o espaço em três regiões baseadas nos raios:
  1. Região 1: – Dentro da esfera não condutora.
  2. Região 2: – Entre a esfera não condutora e a casca condutora.
  3. Região 3: – Fora da casca condutora.

Passo 4

Região 1 ( E(r) = Qdentro4pivarepsilon0 r^2 ):
Dentro da esfera não condutora, assumimos que a carga está distribuída de forma uniforme. O campo elétrico dentro de uma esfera carregada uniformemente é dado por:
Aqui, é a carga dentro de um raio .

Passo 5

Região 2 ( E(r) = Q4pivarepsilon0 r^2 ):
Entre a esfera não condutora e a casca condutora, o campo elétrico é afetado pela carga da casca. No entanto, por ser uma casca condutora, a carga reside na superfície externa. Usando a Lei de Gauss, o campo elétrico nessa região ainda depende apenas da carga interna, que é .

Passo 6

Região 3 ( E(r) = -Q4pivarepsilon0 r^2 ):
Fora da casca condutora, a carga total é a soma das cargas da esfera não condutora e da casca. Então, a carga total é .

Passo 7

Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, podemos integrar para encontrar o potencial elétrico V(r) = -integralinfty^r E(r') , dr' . Lembrando que:
Como estamos calculando em relação a várias regiões, ajustaremos os limites de integração conforme necessário.

Passo 8

Região 1 ( V(r) = Q4pivarepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) - 2Q4pivarepsilon0 3R ):
Integrando o campo elétrico:
V(r) = Q4pivarepsilon0 r - 2Q4pivarepsilon0 3R
Região 2 ( V(r) = -Q4pivarepsilon0 r ):
Região 3 ( ):

Passo 9

Por fim, para o gráfico em função de no intervalo , teremos:
  • De a : diminui quadraticamente.
  • De a : diminui inversamente proporcional a .
  • Acima de : continua a decair inversamente proporcional a , mas com sinal negativo.
Isso resulta em uma curva contínua que mostra o potencial diminuindo inicialmente de forma mais acentuada e depois de maneira mais suave conforme aumentamos o raio.

Resposta

O potencial elétrico V(r) = Q4pivarepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) - 2Q4pivarepsilon0 3R & para 0 <= r < R Q4pivarepsilon0 r - 2Q4pivarepsilon0 3R & para R <= r < 3R -Q4pivarepsilon0 r & para r >= 3R em todo o espaço é dado por:
O gráfico de em função de no intervalo apresenta uma curva contínua que inicia com um decaimento quadrático dentro da esfera não condutora, seguido por um decaimento inverso entre as esferas, e finalmente um decaimento inversamente proporcional ao raio fora da casca condutora.

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