(a) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico E dentro e fora de uma esfera não condutora uniformemente carregada. A esfera possui um raio R=5 cm e uma carga elétrica total Q=25 mu C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico E dentro e fora de uma esfera não condutora que está carregada de forma uniforme. A esfera tem um raio de R = 5 cm e uma carga total de Q = 25 mu C. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em simetrias esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total PhiE através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total Qenc dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica varepsilon0. A fórmula é:
PhiE = oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Como a esfera é carregada de forma uniforme e tem simetria esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera, concentrada no mesmo centro.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico fora da esfera primeiro, ou seja, para uma distância r > R do centro.
Escolhemos uma superfície gaussiana com raio r > 5 cm. Nessa região, toda a carga Q da esfera está dentro da superfície gaussiana. Devido à simetria esférica, o campo elétrico E tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície e é perpendicular a ela. Assim, o fluxo elétrico fica:
PhiE = E cdot 4pi r^2
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0

Passo 4

Isolando o campo elétrico E na equação acima, temos:
E = Q4pi varepsilon0 r^2
Esse é o campo elétrico fora da esfera. Essa fórmula é semelhante à Lei de Coulomb para uma carga pontual, o que faz sentido porque, para r > R, a esfera comporta-se como se toda a carga estivesse concentrada no centro.

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para r < R.
Aqui, apenas a carga dentro do raio r contribui para o campo elétrico na nossa superfície gaussiana. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro de r é proporcional ao volume. A carga total Q está distribuída em um volume V = 43pi R^3. A carga dentro de uma esfera de raio r é:
Qenc = Q cdot ( 43pi r^343pi R^3 ) = Q cdot ( r^3R^3 )

Passo 6

Aplicando novamente a Lei de Gauss dentro da esfera:
PhiE = E cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0 = Q cdot r^3R^3varepsilon0
Isolando o campo elétrico E:
E = Q cdot r^3R^34pi varepsilon0 r^2 = Q4pi varepsilon0 R^3 cdot r

Resposta

O campo elétrico E para a esfera carregada uniformemente é:
  • Dentro da esfera ( r < R):
E = Q4pi varepsilon0 R^3 cdot r r
  • Fora da esfera ( r >= R):
E = Q4pi varepsilon0 r^2 r
Onde r é o vetor unitário radial.

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