(a) Usando a lei de Gauss, calcule o campo elétrico
dentro e fora de uma esfera não condutora uniformemente carregada. A esfera possui um raio
e uma carga elétrica total
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico
dentro e fora de uma esfera não condutora que está carregada de forma uniforme. A esfera tem um raio de
e uma carga total de
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss em simetrias esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total
através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante elétrica
. A fórmula é:
Como a esfera é carregada de forma uniforme e tem simetria esférica, podemos escolher uma superfície gaussiana que também seja uma esfera, concentrada no mesmo centro.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico fora da esfera primeiro, ou seja, para uma distância
do centro.
Escolhemos uma superfície gaussiana com raio
. Nessa região, toda a carga
da esfera está dentro da superfície gaussiana. Devido à simetria esférica, o campo elétrico
tem a mesma intensidade em todos os pontos da superfície e é perpendicular a ela. Assim, o fluxo elétrico fica:
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 4
Isolando o campo elétrico
na equação acima, temos:
Esse é o campo elétrico fora da esfera. Essa fórmula é semelhante à Lei de Coulomb para uma carga pontual, o que faz sentido porque, para
, a esfera comporta-se como se toda a carga estivesse concentrada no centro.
Passo 5
Agora, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera, ou seja, para
.
Aqui, apenas a carga dentro do raio
contribui para o campo elétrico na nossa superfície gaussiana. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro de
é proporcional ao volume. A carga total
está distribuída em um volume
. A carga dentro de uma esfera de raio
é:
Passo 6
Aplicando novamente a Lei de Gauss dentro da esfera:
Isolando o campo elétrico
:
Resposta
O campo elétrico
para a esfera carregada uniformemente é:
- Dentro da esfera (
):
- Fora da esfera (
):
Onde
é o vetor unitário radial.