Se é uma constante real, mostre que , para todo tem derivada nula em todos os pontos da reta.

Passo 1

A gente vai resolver um exercício de cálculo que trata de derivadas. A questão pede para mostrar que, se (onde é uma constante real) para todo no conjunto dos números reais , então a derivada dessa função é nula em todos os pontos da reta. Ou seja, vamos precisar entender o que é derivada e como aplicá-la a uma função constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, como a função está mudando quando a gente muda um pouquinho o valor de .

Passo 3

Para calcular a derivada de , usamos a definição de derivada:
Aqui, representa uma pequena variação em .

Passo 4

Vamos substituir por na fórmula:
Isso porque qualquer que seja o valor de , desde que diferente de zero, sempre dá zero.

Passo 5

Como chegamos a ao calcular a derivada usando a definição, concluímos que a derivada de uma função constante é sempre zero.

Resposta

A derivada de é para todo .

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d)
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