c) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . Vamos usar o conteúdo de Equações Diferenciais e integrais para encontrar a função . Precisamos integrar a derivada segunda para chegar até e depois aplicar as condições iniciais para achar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a segunda derivada para encontrar a primeira derivada . A equação é:
Integrando ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Aqui, é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Então, a primeira derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar novamente para encontrar a função . Integramos a primeira derivada:
Aqui, é outra constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial .

Passo 5

Aplicando a condição inicial na equação encontrada:
Portanto, a solução completa da equação diferencial é:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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k)
g)
d)
a)