d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. A matéria aqui envolve cálculo, especificamente o estudo de equações diferenciais e integrais. Vamos precisar usar técnicas de integração para encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração no lado direito da equação. Observando o denominador
, podemos fatorar:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, nossa meta é integrar ambos os lados para encontrar
. Então, reescrevemos a equação como:
Vamos simplificar a fração no lado direito usando frações parciais. Queremos expressar
como
.
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, igualando os coeficientes:
Resolvendo, encontramos
e
.
Passo 4
Então, podemos reescrever a integral como:
Integrando ambos os lados:
As integrais são conhecidas:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos combinar os logaritmos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
. Usando a condição inicial
, substituímos:
Portanto, a solução particular é:
Exercícios relacionados
c)
e
k)
a)
a)