d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é . A matéria aqui envolve cálculo, especificamente o estudo de equações diferenciais e integrais. Vamos precisar usar técnicas de integração para encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração no lado direito da equação. Observando o denominador , podemos fatorar:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, nossa meta é integrar ambos os lados para encontrar . Então, reescrevemos a equação como:
Vamos simplificar a fração no lado direito usando frações parciais. Queremos expressar como .
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, igualando os coeficientes:
Resolvendo, encontramos e .

Passo 4

Então, podemos reescrever a integral como:
Integrando ambos os lados:
As integrais são conhecidas:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos combinar os logaritmos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Usando a condição inicial , substituímos:
Portanto, a solução particular é:

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c) e
k)
a)
a)