(d) Enuncie o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente enunciar o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema é um dos pilares da Álgebra Linear e fala sobre a relação entre o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) de uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é núcleo e imagem, e como eles se relacionam na teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são núcleo e imagem. O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Já a imagem de é o conjunto de todos os vetores em que podem ser alcançados por aplicando-a em algum vetor de .
O Teorema do Núcleo e da Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão, nos diz que a dimensão do espaço de partida é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de . Isso é fundamental para entender como a transformação linear “divide” o espaço.

Passo 3

O corolário desse teorema reforça essa relação de forma direta. Ele basicamente reescreve o teorema de uma maneira mais específica ou aplica-o a um caso particular que facilita a compreensão.

Resposta

O Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem afirma que, para uma transformação linear , a dimensão do espaço vetorial é igual à soma da dimensão do núcleo de e da dimensão da imagem de . Em fórmula, isso é representado por:

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Suponha que e são espaços vetoriais com a mesma dimensão e é um norfismo. Mostre que tem inversa e é dada por , onde é uma base para e ima base para .
© Demonstre que é invertível e dê uma regra para como a que define .
Sejam e bases de . Determine , onde є é definido por , para todo .
(j) Seja U um espaço vetorial de dimensão sobre e sejam B e bases de U. Qual é a relação entre e ?