(d) Enuncie o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente enunciar o Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem. Esse teorema é um dos pilares da Álgebra Linear e fala sobre a relação entre o núcleo (ou kernel) e a imagem (ou imagem) de uma transformação linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é núcleo e imagem, e como eles se relacionam na teoria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são núcleo e imagem. O núcleo de uma transformação linear
é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
. Já a imagem de
é o conjunto de todos os vetores em
que podem ser alcançados por
aplicando-a em algum vetor de
.
O Teorema do Núcleo e da Imagem, também conhecido como Teorema da Dimensão, nos diz que a dimensão do espaço de partida
é igual à soma da dimensão do núcleo de
e da dimensão da imagem de
. Isso é fundamental para entender como a transformação linear “divide” o espaço.
Passo 3
O corolário desse teorema reforça essa relação de forma direta. Ele basicamente reescreve o teorema de uma maneira mais específica ou aplica-o a um caso particular que facilita a compreensão.
Resposta
O Corolário do Teorema do Núcleo e da Imagem afirma que, para uma transformação linear
, a dimensão do espaço vetorial
é igual à soma da dimensão do núcleo de
e da dimensão da imagem de
. Em fórmula, isso é representado por:
Exercícios relacionados
Suponha que
e
são espaços vetoriais com a mesma dimensão e
é um norfismo. Mostre que
tem inversa e é dada por
, onde
é uma base para
e
ima base para
.
© Demonstre que
é invertível e dê uma regra para
como a que define
.
Sejam
e
bases de
. Determine
, onde є
é definido por
, para todo
.
(j) Seja U um espaço vetorial de dimensão
sobre
e sejam B e
bases de U. Qual é a relação entre
e
?