© Desenhe um segmento de reta e marque as populações constantes. Em seguida, analise o sinal do crescimento/decrescimento da população nos intervalos delimitados pelas populações constantes. Acabamos de esboçar o campo de direções da equação em cada ponto
no plano cuja inclinação é
p.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos um segmento de reta marcando as populações constantes e, em seguida, analisar se a população está crescendo ou diminuindo nos intervalos desses pontos. A matéria envolvida aqui é a de equações diferenciais, especificamente aquelas que modelam o crescimento populacional. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a população não muda (as populações constantes) e então verificar o comportamento da população entre esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as populações constantes. Esses são os valores de
onde a taxa de variação da população é zero, ou seja, onde
.
Dada a equação:
Para encontrar as populações constantes, igualamos a equação a zero:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as populações constantes são
e
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar um segmento de reta representando a população
, marcando os pontos constantes que encontramos:
e
. Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
Passo 4
Vamos analisar o sinal de
em cada intervalo para determinar se a população está crescendo ou diminuindo.
-
Intervalo
: - Escolhemos
como ponto de teste. - Substituindo na equação:
- Sinal negativo: a população está diminuindo.
- Escolhemos
-
Intervalo
: - Escolhemos
como ponto de teste. - Substituindo na equação:
- Sinal positivo: a população está crescendo.
- Escolhemos
-
Intervalo
: - Escolhemos
como ponto de teste. - Substituindo na equação:
- Sinal negativo: a população está diminuindo.
- Escolhemos
Resposta
As populações constantes são
e
. A população está diminuindo quando
e
, e está crescendo no intervalo
.