© Desenhe um segmento de reta e marque as populações constantes. Em seguida, analise o sinal do crescimento/decrescimento da população nos intervalos delimitados pelas populações constantes. Acabamos de esboçar o campo de direções da equação em cada ponto t, p no plano cuja inclinação é 1-p p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para desenharmos um segmento de reta marcando as populações constantes e, em seguida, analisar se a população está crescendo ou diminuindo nos intervalos desses pontos. A matéria envolvida aqui é a de equações diferenciais, especificamente aquelas que modelam o crescimento populacional. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a população não muda (as populações constantes) e então verificar o comportamento da população entre esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as populações constantes. Esses são os valores de onde a taxa de variação da população é zero, ou seja, onde .
Dada a equação:
Para encontrar as populações constantes, igualamos a equação a zero:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as populações constantes são e .

Passo 3

Agora, vamos desenhar um segmento de reta representando a população , marcando os pontos constantes que encontramos: e . Esses pontos dividem a reta em três intervalos:

Passo 4

Vamos analisar o sinal de em cada intervalo para determinar se a população está crescendo ou diminuindo.
  1. Intervalo :
    • Escolhemos como ponto de teste.
    • Substituindo na equação:
    • Sinal negativo: a população está diminuindo.
  2. Intervalo :
    • Escolhemos como ponto de teste.
    • Substituindo na equação:
    • Sinal positivo: a população está crescendo.
  3. Intervalo :
    • Escolhemos como ponto de teste.
    • Substituindo na equação:
    • Sinal negativo: a população está diminuindo.

Resposta

As populações constantes são e . A população está diminuindo quando e , e está crescendo no intervalo .

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