(e) Para qual valor de k a população dobra de tamanho a cada ano? (Considere t em anos.)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir para qual valor de a população dobra de tamanho a cada ano. Isso envolve conceitos de crescimento exponencial, onde a população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho atual.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial:
Onde:
  • é a população no tempo .
  • é a população inicial.
  • é a taxa de crescimento.
  • é o tempo em anos.

Passo 3

Queremos que a população dobre a cada ano. Isso significa que após 1 ano ( ):

Passo 4

Substituindo na fórmula do crescimento exponencial:

Passo 5

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:

Passo 7

Como , temos:

Resposta

O valor de é .

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