Calcule a integral de
na região
. (Sugestão: escolha uma ordem de integração adequada.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a função é
e a região de integração
é definida por
e
. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e determinar os limites corretos para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região
. Ela está definida por
e
. Isso significa que para cada valor de
entre 0 e 1,
varia de
até 1. Porém, integrar primeiro em relação a
parece mais complicado por causa da raiz quadrada. Então, vamos mudar a ordem de integração para integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Isso vai facilitar nosso cálculo.
Passo 3
Agora, determinando os novos limites de integração. Se vamos integrar primeiro em relação a
, precisamos expressar
em termos de
. A condição
pode ser reescrita como
. Portanto, para cada
entre 0 e 1,
varia de 0 até
.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:
Como a função
não depende de
, podemos integrar em relação a
facilmente:
Resposta
A integral dupla é igual a:
Essa integral pode ser resolvida por substituição, deixando o resultado em termos de funções conhecidas ou integrando numericamente se necessário.
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