Calcule a integral de na região . (Sugestão: escolha uma ordem de integração adequada.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde a função é e a região de integração é definida por e . O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e determinar os limites corretos para e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região . Ela está definida por e . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 1, varia de até 1. Porém, integrar primeiro em relação a parece mais complicado por causa da raiz quadrada. Então, vamos mudar a ordem de integração para integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Isso vai facilitar nosso cálculo.

Passo 3

Agora, determinando os novos limites de integração. Se vamos integrar primeiro em relação a , precisamos expressar em termos de . A condição pode ser reescrita como . Portanto, para cada entre 0 e 1, varia de 0 até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla da seguinte forma:
Como a função não depende de , podemos integrar em relação a facilmente:

Resposta

A integral dupla é igual a:
Essa integral pode ser resolvida por substituição, deixando o resultado em termos de funções conhecidas ou integrando numericamente se necessário.

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