(f) A população atinge o infinito dentro de um período de tempo finito?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é: “A população atinge o infinito dentro de um período de tempo finito?”. Isso está relacionado ao estudo de modelos de crescimento populacional na matemática, especialmente em funções que descrevem como a população muda ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como limites e comportamento assintótico das funções que modelam o crescimento populacional.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o modelo de crescimento populacional mais simples: o crescimento exponencial. A fórmula desse modelo é:
Onde:
-
é a população no tempo . -
é a população inicial. -
é a taxa de crescimento. -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento dessa função conforme
aumenta. À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Porém, a pergunta é se a população atinge o infinito em um tempo finito.
Passo 4
Para descobrir se
pode se tornar infinito em um tempo finito, precisamos resolver a equação
para
. No modelo exponencial:
Não há nenhum valor finito de
que satisfaça essa equação, porque
cresce exponencialmente conforme
aumenta, mas nunca atinge o infinito em um tempo finito. O infinito só é atingido quando
tende ao infinito.
Passo 5
Existem outros modelos matemáticos, como alguns modelos de crescimento logístico ou outros mais complexos, que também não permitem que a população atinja o infinito em tempo finito. Na maioria dos casos realistas, os modelos ajustam o crescimento para evitar populações infinitas, incorporando fatores como recursos limitados.
Resposta
Não, a população não atinge o infinito dentro de um período de tempo finito segundo os modelos de crescimento populacional padrão.
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