(f) A população atinge o infinito dentro de um período de tempo finito?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “A população atinge o infinito dentro de um período de tempo finito?”. Isso está relacionado ao estudo de modelos de crescimento populacional na matemática, especialmente em funções que descrevem como a população muda ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como limites e comportamento assintótico das funções que modelam o crescimento populacional.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o modelo de crescimento populacional mais simples: o crescimento exponencial. A fórmula desse modelo é:
Onde:
  • é a população no tempo .
  • é a população inicial.
  • é a taxa de crescimento.
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento dessa função conforme aumenta. À medida que tende ao infinito, também tende ao infinito. Porém, a pergunta é se a população atinge o infinito em um tempo finito.

Passo 4

Para descobrir se pode se tornar infinito em um tempo finito, precisamos resolver a equação para . No modelo exponencial:
Não há nenhum valor finito de que satisfaça essa equação, porque cresce exponencialmente conforme aumenta, mas nunca atinge o infinito em um tempo finito. O infinito só é atingido quando tende ao infinito.

Passo 5

Existem outros modelos matemáticos, como alguns modelos de crescimento logístico ou outros mais complexos, que também não permitem que a população atinja o infinito em tempo finito. Na maioria dos casos realistas, os modelos ajustam o crescimento para evitar populações infinitas, incorporando fatores como recursos limitados.

Resposta

Não, a população não atinge o infinito dentro de um período de tempo finito segundo os modelos de crescimento populacional padrão.

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© Desenhe um segmento de reta e marque as populações constantes. Em seguida, analise o sinal do crescimento/decrescimento da população nos intervalos delimitados pelas populações constantes. Acabamos de esboçar o campo de direções da equação em cada ponto no plano cuja inclinação é p.
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