Dadas as seguintes equações, classifique-as e determine a sua solução. Pontuação: item a) e h) valem 1,5 pontos, demais itens valem 1,0 ponto.

Passo 1

Então, a gente tem essa equação diferencial: . O que a gente vai fazer aqui é classificar essa equação e encontrar a solução dela. Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e entender como encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma geral:
Aqui, , e .

Passo 3

Agora, vamos montar a equação característica, que é uma equação polinomial associada à equação diferencial. A equação característica é dada por:
Substituindo os valores, temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula de Bhaskara é:
Calculando o discriminante ( ):
Como , temos raízes reais e repetidas.

Passo 5

Com , as soluções para são:
Então, temos uma raiz dupla: .

Passo 6

Como as raízes são reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :

Resposta

A equação diferencial é de segunda ordem com coeficientes constantes e possui raízes reais e repetidas. A solução geral é:

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