© Determine as equações paramétricas para
e use-as para traçar o gráfico de
.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar as equações paramétricas para a curva
e usar essas equações para desenhar o gráfico dela. A matéria que vamos usar aqui é o Estudo de Curvas no Espaço, que envolve entender como diferentes equações paramétricas descrevem uma curva tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que descrevem
,
e
em função de um parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas que já foram fornecidas:
Aqui,
é o parâmetro que varia de
a
. Essas equações nos dizem como cada coordenada
,
e
varia conforme
muda.
Passo 3
Vamos entender cada uma dessas equações:
-
Equação de
: descreve uma componente que oscila entre e , já que o cosseno varia entre e . -
Equação de
: também oscila entre e , pois o seno também varia entre e . -
Equação de
: combina as oscilações de e , além de um deslocamento vertical de .
Passo 4
Para traçar o gráfico da curva
, vamos pensar em como essas três coordenadas interagem:
-
Plano
: As equações de e formam um círculo de raio no plano , já que . -
Componente
: Conforme varia, o valor de muda de acordo com a equação . Isso significa que a curva se eleva e desce enquanto percorre o círculo no plano . -
Curva 3D: Juntando tudo, a curva
é uma hélice que gira ao redor do círculo no plano , enquanto se move para cima e para baixo no eixo .
Passo 5
Para visualizar, imagine um círculo no chão com raio
. Agora, pense em uma rampa que sobe e desce enquanto percorre esse círculo. A curva
segue essa trajetória circular, mas também sobe e desce conforme
aumenta de
a
.
Resposta
As equações paramétricas para a curva
são:
Utilizando essas equações, a curva
forma uma hélice circular no espaço tridimensional, com projeção circular no plano
e variação linear no eixo
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
9. é a circunferência
9.
Dê o domínio das seguintes funções reais:
(e)
(e)
Encontre a transformada de Fourier das funções:
Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por: