© Determine as equações paramétricas para C e use-as para traçar o gráfico de C.
x = 3 cos t, y = 3 sen t
z = 1 - 3(cos(t) + sen(t)),
0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar as equações paramétricas para a curva e usar essas equações para desenhar o gráfico dela. A matéria que vamos usar aqui é o Estudo de Curvas no Espaço, que envolve entender como diferentes equações paramétricas descrevem uma curva tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que descrevem , e em função de um parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas que já foram fornecidas:
Aqui, é o parâmetro que varia de a . Essas equações nos dizem como cada coordenada , e varia conforme muda.

Passo 3

Vamos entender cada uma dessas equações:
  • Equação de : descreve uma componente que oscila entre e , já que o cosseno varia entre e .
  • Equação de : também oscila entre e , pois o seno também varia entre e .
  • Equação de : combina as oscilações de e , além de um deslocamento vertical de .

Passo 4

Para traçar o gráfico da curva , vamos pensar em como essas três coordenadas interagem:
  1. Plano : As equações de e formam um círculo de raio no plano , já que .
  2. Componente : Conforme varia, o valor de muda de acordo com a equação . Isso significa que a curva se eleva e desce enquanto percorre o círculo no plano .
  3. Curva 3D: Juntando tudo, a curva é uma hélice que gira ao redor do círculo no plano , enquanto se move para cima e para baixo no eixo .

Passo 5

Para visualizar, imagine um círculo no chão com raio . Agora, pense em uma rampa que sobe e desce enquanto percorre esse círculo. A curva segue essa trajetória circular, mas também sobe e desce conforme aumenta de a .

Resposta

As equações paramétricas para a curva são:
Utilizando essas equações, a curva forma uma hélice circular no espaço tridimensional, com projeção circular no plano e variação linear no eixo .

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