Encontre a transformada de Fourier das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada de Fourier de duas funções específicas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que são produtos de polinômios e exponenciais. Vamos dar uma olhada nos passos necessários!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral é:
No nosso caso, não precisamos nos preocupar com a parte imaginária porque as funções dadas são reais e pares, o que simplifica as coisas.
Passo 3
Vamos começar calculando a transformada de Fourier da função
.
Primeiro, separamos a transformação:
Passo 4
Sabemos que a transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana. A fórmula é:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Para isso, usamos uma propriedade das transformadas de Fourier que relaciona multiplicação por
com derivadas no domínio da frequência:
Aplicando isso:
Passo 6
Calculando a segunda derivada:
Primeiro derivada:
Segunda derivada:
Portanto:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos calcular a transformada de Fourier da função
.
Usamos novamente a fórmula da transformada de Fourier para uma gaussiana:
Para o primeiro termo,
:
Para o segundo termo,
:
Resposta
A transformada de Fourier das funções são:
e
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© Determine as equações paramétricas para
e use-as para traçar o gráfico de
.
,
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
9. é a circunferência
9.
Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:
Seja
a transformada de Fourier da função
. Mostre que