Encontre a transformada de Fourier das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a transformada de Fourier de duas funções específicas:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que são produtos de polinômios e exponenciais. Vamos dar uma olhada nos passos necessários!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral é:
No nosso caso, não precisamos nos preocupar com a parte imaginária porque as funções dadas são reais e pares, o que simplifica as coisas.

Passo 3

Vamos começar calculando a transformada de Fourier da função .
Primeiro, separamos a transformação:

Passo 4

Sabemos que a transformada de Fourier de uma gaussiana é outra gaussiana. A fórmula é:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Para isso, usamos uma propriedade das transformadas de Fourier que relaciona multiplicação por com derivadas no domínio da frequência:
Aplicando isso:

Passo 6

Calculando a segunda derivada:
Primeiro derivada:
Segunda derivada:
Portanto:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original para :
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier da função .
Usamos novamente a fórmula da transformada de Fourier para uma gaussiana:
Para o primeiro termo, :
Para o segundo termo, :

Resposta

A transformada de Fourier das funções são:
e

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© Determine as equações paramétricas para e use-as para traçar o gráfico de .

,
Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
9. é a circunferência
Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:
Seja a transformada de Fourier da função . Mostre que