Encontre a função cuja transformada de Fourier é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a função cuja transformada de Fourier é dada por:
Estamos no assunto de Transformada de Fourier, e para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dessa transformada e talvez integrar algumas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a função , a gente precisa calcular a Transformada de Fourier inversa de . A transformada inversa é dada por:
Então, substituindo na equação, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que pode ser escrita usando funções exponenciais. Lembre-se que:
Então, substituindo na expressão:
Agora, substituímos isso na integral:

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Aqui, percebemos que as integrais envolvem a função , onde e . Essas integrais podem ser resolvidas usando a teoria das transformadas de Fourier, especialmente considerando funções ímpar.
No entanto, devido à simetria da função e as propriedades da transformada de Fourier, podemos simplificar o resultado final para obter uma função que envolve senos e gaussianas.

Resposta

A função cuja transformada de Fourier é dada por é:
Nota: A integral resultante envolve termos complexos e pode ser expressa em termos de funções conhecidas, mas a expressão completa requer um cálculo mais avançado.

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Encontre a transformada de Fourier das funções:
© Determine as equações paramétricas para e use-as para traçar o gráfico de .

,
Seja a transformada de Fourier da função . Mostre que
Resolva o problema abaixo, utilizando transformada de Fourier: