Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
9. é a circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. Basicamente, o enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo. O Teorema de Stokes conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como borda. Então, vamos usar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral de superfície mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo vetorial e a curva do problema:
Aqui, é um círculo no plano com raio , já que .
Passo 3
Segundo o Teorema de Stokes, temos que:
Onde:
é o rotacional de .
é o vetor normal à superfície .
é uma superfície cuja borda é a curva .
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de :
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora, precisamos escolher uma superfície que tenha como borda. A forma mais simples é utilizar o disco plano no mesmo nível de , ou seja, no plano . Portanto, é o disco , .
O vetor normal para essa superfície, orientado para cima (já que está orientada no sentido anti-horário visto de cima), é: