Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
9. F(x, y, z)=y z i+2 x z j+e^x y k, C é a circunferência x^2+y^2=16, z=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. Basicamente, o enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo da curva C. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo. O Teorema de Stokes conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como borda. Então, vamos usar esse teorema para transformar a integral de linha em uma integral de superfície mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo vetorial F e a curva C do problema:
F(x, y, z) = y z i + 2 x z j + e^x y k, C: x^2+y^2=16, , z=5
Aqui, C é um círculo no plano z=5 com raio 4, já que x^2+y^2=16.

Passo 3

Segundo o Teorema de Stokes, temos que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • nabla times F é o rotacional de F.
  • n é o vetor normal à superfície S.
  • S é uma superfície cuja borda é a curva C.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y z & 2 x z & e^x y
Calculando o determinante:
nabla times F &= ( partial e^x ypartial y - partial (2 x z)partial z ) i - ( partial e^x ypartial x - partial (y z)partial z ) j + ( partial (2 x z)partial x - partial (y z)partial y ) k &= ( x e^x y - 2 x ) i - ( y e^x y - y ) j + ( 2 z - z ) k &= ( x (e^x y - 2) ) i + ( y (1 - e^x y) ) j + z k

Passo 5

Agora, precisamos escolher uma superfície S que tenha C como borda. A forma mais simples é utilizar o disco plano no mesmo nível de C, ou seja, no plano z=5. Portanto, S é o disco x^2+y^2 <= 16, z=5.
O vetor normal n para essa superfície, orientado para cima (já que C está orientada no sentido anti-horário visto de cima), é:
n = k

Passo 6

Vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS z , dS
Como z=5 em toda a superfície S, podemos simplificar:
integral duplaS 5 , dS = 5 times Área de S Á
A área de S é a área de um círculo com raio 4:
Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16 pi Á
Portanto:
5 times 16 pi = 80 pi

Resposta

A integral integralC F cdot d r vale 80,pi.

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