© Determine extremos absolutos para h(x) = x^(2 / 3) no intervalo [-2, 3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os extremos absolutos da função no intervalo . Ou seja, queremos saber quais são os maiores e menores valores que essa função atinge nesse intervalo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são extremos absolutos. São os pontos onde a função atinge seu valor máximo (o maior valor) e mínimo (o menor valor) em um dado intervalo. Para encontrar esses pontos, geralmente analisamos:
  1. Os valores da função nas extremidades do intervalo.
  2. Os pontos críticos, onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 3

Vamos começar calculando os valores de nas extremidades do intervalo :
  • Em :
  • Em :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos a derivada de e verificamos onde ela é zero ou não existe.
A derivada de é:
Note que a derivada não existe quando , pois temos uma divisão por zero. Então, é um ponto crítico.

Passo 5

Vamos calcular o valor de no ponto crítico :

Passo 6

Agora, juntando tudo, comparamos os valores obtidos:
O menor valor é em e o maior valor é aproximadamente em .

Resposta

No intervalo , a função tem:
  • Extremo mínimo absoluto de em .
  • Extremo máximo absoluto aproximadamente em .

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