Represente graficamente a função abaixo. Faça o cálculo dos limites e analise a continuidade em e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou uma função definida por partes e pediu para a gente representar no gráfico, calcular os limites em , e , e analisar a continuidade nesses pontos. Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade de funções, além de entender como cada parte da função se comporta em cada intervalo. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos. Ela é definida por três expressões diferentes, dependendo do valor de :
Isso significa que para cada intervalo de , a função se comporta de uma maneira específica. Nosso objetivo é analisar o comportamento nos pontos onde a expressão muda, ou seja, em e , além do ponto que pediu.

Passo 3

Vamos começar calculando os limites em . Precisamos ver o que acontece quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Limite à esquerda ( ):
Aqui, usamos a primeira expressão da função, :
Limite à direita ( ):
Agora, usamos a segunda expressão, :
Análise em :
Como os limites à esquerda e à direita são diferentes ( e ), o limite geral em não existe. Além disso, o valor da função em é dado pela segunda expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites em .
Limite à esquerda ( ):
Usamos a segunda expressão, :
Limite à direita ( ):
Aqui, usamos a terceira expressão, :
Análise em :
Os limites à esquerda e à direita são iguais ( ), e o valor da função em é:
Portanto, o limite existe e é igual ao valor da função em , indicando que a função é contínua nesse ponto.

Passo 5

Por fim, vamos analisar em .
Limite em :
Como , usamos a terceira expressão, :
Valor da função em :
Análise em :
O limite existe e é igual ao valor da função, indicando que a função é contínua em .

Resposta

Resumindo:
  • Em , os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( e ), então a função tem uma descontinuidade nesse ponto.
  • Em , os limites e o valor da função são iguais a , indicando continuidade.
  • Em , a função é contínua, já que o limite e o valor da função são iguais a .
Então, a função é descontínua em e contínua em e .

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