Utilizando os conceitos de Limites Fundamentais, calcule: lim x infty(x+2x+1)^x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x infty(x+2x+1)^x+1. Esse exercício usa conceitos de Limites Fundamentais e Funções Exponenciais. A gente vai precisar entender como simplificar a expressão dentro do limite e usar propriedades dos limites para encontrar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do parênteses: x+2x+1. Podemos reescrever isso assim:
x+2x+1 = x+1 +1x+1 = 1 + 1x+1
Isso ajuda porque expressões do tipo 1 + ax são mais fáceis de lidar quando x tende ao infinito.

Passo 3

Agora, substituímos de volta na expressão original:
(1 + 1x+1)^x+1
Aqui, a gente lembra da famosa fórmula dos limites que diz:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 4

No nosso caso, temos a = 1 e n = x+1. Então, aplicando a fórmula:
limx to infty (1 + 1x+1)^x+1 = e^1 = e
Isso nos mostra que, conforme x cresce muito, a expressão se aproxima de e.

Resposta

Portanto, o limite é e.

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