a) Se C e são conjuntos fechados;
b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado.
d) Dê exemplos: Se F ⊆ C é um conjunto fechado e f: C -> C é uma função contínua, então a imagem de sob f(F) pode não ser um conjunto fechado. A mesma coisa acontece se F for um conjunto aberto, a imagem de F pode não ser um conjunto aberto.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício, que aborda propriedades de conjuntos fechados no contexto da matemática, mais especificamente na topologia. Precisamos entender o que são conjuntos fechados, como se comportam sob operações como união e interseção, e como funções contínuas afetam esses conjuntos. Para resolver, vamos revisar conceitos básicos de topologia, como definição de conjuntos fechados, propriedades de união e interseção, e o que significa uma função ser contínua.

Passo 2

a) e são conjuntos fechados
Primeiro, vamos lembrar que no contexto da topologia, o conjunto vazio e todo o espaço caso sejam considerados conjuntos fechados. Por definição, um conjunto é fechado se seu complementar é aberto. O complementar de em é , que é aberto. Já o complementar de é , que também é aberto se considerarmos a topologia usual. Portanto, ambos são conjuntos fechados.

Passo 3

b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
Sabemos que em topologia, a união finita de conjuntos fechados permanece fechada. Isso porque, se temos conjuntos fechados , o complementar de cada é aberto. A interseção dos complementos, que corresponde ao complementar da união , será uma interseção finita de abertos, que é aberto. Assim, o complementar da união é aberto, significando que a união é fechada.

Passo 4

c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado.
Aqui, consideramos uma coleção de conjuntos fechados possivelmente infinitos. A interseção de quaisquer conjuntos fechados mantém a propriedade de fechado porque o complementar da interseção é a união dos complementos, e a união arbitrária de abertos é aberta. Portanto, o complementar da interseção é aberto, o que implica que a interseção em si é fechada.

Passo 5

d) Exemplos onde a imagem de um conjunto fechado ou aberto sob uma função contínua pode não ser fechado ou aberto.
Vamos construir dois exemplos:
  1. Imagem de um conjunto fechado que não é fechado:
    • Considere a função definida por para , e .
    • O conjunto é fechado em .
    • A imagem não é fechada em porque não contém o limite 0.
  2. Imagem de um conjunto aberto que não é aberto:
    • Considere a função definida por .
    • O conjunto é aberto em .
    • A imagem não é aberto em porque não contém um intervalo aberto em torno de 0.

Resposta

a) Sim, e são conjuntos fechados.
b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada.
d) Exemplos mostraram que a imagem de um conjunto fechado ou aberto por uma função contínua pode não ser fechada ou aberta.

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