a) Se
e
são conjuntos fechados;
b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado.
d) Dê exemplos: Se
é um conjunto fechado e
é uma função contínua, então a imagem de sob
pode não ser um conjunto fechado. A mesma coisa acontece se
for um conjunto aberto, a imagem de
pode não ser um conjunto aberto.
b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado.
d) Dê exemplos: Se
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício, que aborda propriedades de conjuntos fechados no contexto da matemática, mais especificamente na topologia. Precisamos entender o que são conjuntos fechados, como se comportam sob operações como união e interseção, e como funções contínuas afetam esses conjuntos. Para resolver, vamos revisar conceitos básicos de topologia, como definição de conjuntos fechados, propriedades de união e interseção, e o que significa uma função ser contínua.
Passo 2
a)
e
são conjuntos fechados
Primeiro, vamos lembrar que no contexto da topologia, o conjunto vazio
e todo o espaço caso
sejam considerados conjuntos fechados. Por definição, um conjunto é fechado se seu complementar é aberto. O complementar de
em
é
, que é aberto. Já o complementar de
é
, que também é aberto se considerarmos a topologia usual. Portanto, ambos são conjuntos fechados.
Passo 3
b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
Sabemos que em topologia, a união finita de conjuntos fechados permanece fechada. Isso porque, se temos conjuntos fechados
, o complementar de cada
é aberto. A interseção dos complementos, que corresponde ao complementar da união
, será uma interseção finita de abertos, que é aberto. Assim, o complementar da união é aberto, significando que a união é fechada.
Passo 4
c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é ainda um conjunto fechado.
Aqui, consideramos uma coleção de conjuntos fechados possivelmente infinitos. A interseção de quaisquer conjuntos fechados mantém a propriedade de fechado porque o complementar da interseção é a união dos complementos, e a união arbitrária de abertos é aberta. Portanto, o complementar da interseção é aberto, o que implica que a interseção em si é fechada.
Passo 5
d) Exemplos onde a imagem de um conjunto fechado ou aberto sob uma função contínua pode não ser fechado ou aberto.
Vamos construir dois exemplos:
-
Imagem de um conjunto fechado que não é fechado:
- Considere a função
definida por para , e . - O conjunto
é fechado em . - A imagem
não é fechada em porque não contém o limite 0.
- Considere a função
-
Imagem de um conjunto aberto que não é aberto:
- Considere a função
definida por . - O conjunto
é aberto em . - A imagem
não é aberto em porque não contém um intervalo aberto em torno de 0.
- Considere a função
Resposta
a) Sim,
e
são conjuntos fechados.
b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada.
d) Exemplos mostraram que a imagem de um conjunto fechado ou aberto por uma função contínua pode não ser fechada ou aberta.
b) A união de um número finito de conjuntos fechados é fechada.
c) A interseção arbitrária de conjuntos fechados é fechada.
d) Exemplos mostraram que a imagem de um conjunto fechado ou aberto por uma função contínua pode não ser fechada ou aberta.