Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(a) lim x +infty(1+bx)^x, onde b in R é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções do tipo se comportam quando cresce muito. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. A expressão é . Sabemos que quando fica muito grande, fica bem pequeno. Isso nos lembra da definição do número , que é a base dos logaritmos naturais e tem a propriedade .

Passo 3

Para aplicar essa ideia, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar , então quando tende a mais infinito, também tende a mais infinito. Nossa expressão fica então . Agora, se compararmos com a definição do , vemos que está muito parecida, mas temos um no numerador.

Passo 4

Lembrando a propriedade dos limites com potências, sabemos que , onde é uma constante. No nosso caso, . Portanto, podemos aplicar essa propriedade diretamente à nossa expressão.

Passo 5

Aplicando a propriedade, temos:
limn to infty (1 + bn)^n = e^b
Como limx to +infty (1 + bx)^x = e^b , isso significa que:

Resposta

O limite é igual a .

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