Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(a)
, onde
é uma constante.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando
tende a mais infinito da expressão
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções do tipo
se comportam quando
cresce muito. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a análise. A expressão é
. Sabemos que quando
fica muito grande,
fica bem pequeno. Isso nos lembra da definição do número
, que é a base dos logaritmos naturais e tem a propriedade
.
Passo 3
Para aplicar essa ideia, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
, então quando
tende a mais infinito,
também tende a mais infinito. Nossa expressão fica então
. Agora, se compararmos com a definição do
, vemos que está muito parecida, mas temos um
no numerador.
Passo 4
Lembrando a propriedade dos limites com potências, sabemos que
, onde
é uma constante. No nosso caso,
. Portanto, podemos aplicar essa propriedade diretamente à nossa expressão.
Passo 5
Aplicando a propriedade, temos:
Como
, isso significa que:
Resposta
O limite é igual a
.