Diz-se que f(z) tende a infinito com z tendendo a z0 e indicamos lim z z0 f(z)=infty se, dado qualquer K>O, existe de0 tal que |f(z)|>K para todo z in D satisfazendo |z-z0|.
Diz-se que f tende a infinito com z tendendo a infinito e indicamos lim z infty f(z)=infty se, dado qualquer K>, existe M>0 tal que |f(z)|>K para todo z in D, com |z|>M.
Conhecendo estas definições, mostre por meio destas que:
a) lim z 4 i 5 z2 z-8 i=infty
b) lim z infty 3 i z+52 z-i=3 i2
c) lim z infty z^2-i3 z+5=infty

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que:
lim z 4i 5 z2 z - 8 i = infty
Estamos trabalhando com limites de funções complexas. Especificamente, queremos provar que a função tende ao infinito quando se aproxima de . Para isso, vamos usar a definição fornecida que diz que se, para qualquer , existe um tal que sempre que . Vamos seguir esses passos para demonstrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função:
f(z) = 5 z2 z - 8 i
Podemos fatorar o denominador:
2 z - 8 i = 2(z - 4i)
Então, a função fica:
f(z) = 5 z2(z - 4i) = 52 cdot zz - 4i

Passo 3

Queremos mostrar que |f(z)| = | 5 z2(z - 4i) | = 5 |z|2 |z - 4i| fica maior que qualquer 5 |z|2 |z - 4i| > K Rightarrow |z| > 2K5 |z - 4i| quando está suficientemente próximo de . Vamos calcular o módulo de :
Para que , precisamos que:

Passo 4

Vamos assumir que |z| >= 4 - de está próximo de 2 > 2K5 |z - 4i| , ou seja, |z - 4i| < 5K . Podemos escolher pequeno o suficiente para que seja aproximadamente . Assim, temos:
Se escolhermos , então . Substituindo na desigualdade:
Portanto, podemos escolher .

Passo 5

Com essa escolha de lim z 4i 5 z2 z - 8 i = infty , garantimos que sempre que , teremos . Isso confirma, segundo a definição, que:

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
lim z infty 3 i z + 52 z - i = 3 i2
Aqui, queremos encontrar o limite da função quando tende ao infinito. Para isso, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e denominador.

Passo 7

Primeiro, identifiquemos os termos de maior grau em Numerador: 3i z + 5 (termo de maior grau: 3i z) no numerador e denominador:
Denominador: 2 z - i (termo de maior grau: 2 z)
3i z2 z = 3i2
Quando tende ao infinito, os termos constantes se tornam insignificantes, então podemos aproximar a função por:

Passo 8

Para formalizar, dividimos numerador e denominador por 3i z + 52 z - i = 3i + 5z2 - iz :
3i + 02 - 0 = 3i2
Quando tende ao infinito, e , então:

Passo 9

Portanto, o limite é:
lim z infty 3 i z + 52 z - i = 3 i2

Passo 10

Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício:
lim z infty z^2 - i3 z + 5 = infty
Aqui, queremos mostrar que a função tende ao infinito quando tende ao infinito.

Passo 11

Analisando os termos de maior grau no numerador e denominador:
Numerador: z^2 - i (termo de maior grau: z^2)
Denominador: 3 z + 5 (termo de maior grau: 3 z)
Quando tende ao infinito, o termo domina, então a função se comporta como , que tende ao infinito.

Passo 12

Formalizando, dividimos numerador e denominador por z^2 - i3 z + 5 = z - iz3 + 5z :
z - 03 + 0 = z3 infty
Quando tende ao infinito, e , então:

Passo 13

Assim, demonstramos que:
lim z infty z^2 - i3 z + 5 = infty

Resposta

lim z infty z^2 - i3 z + 5 = infty

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