Diz-se que tende a infinito com tendendo a e indicamos se, dado qualquer , existe tal que para todo satisfazendo .
Diz-se que tende a infinito com tendendo a infinito e indicamos se, dado qualquer , existe tal que para todo , com .
Conhecendo estas definições, mostre por meio destas que:
a)
b)
c)
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. O enunciado nos pede para mostrar que:
Estamos trabalhando com limites de funções complexas. Especificamente, queremos provar que a função tende ao infinito quando se aproxima de . Para isso, vamos usar a definição fornecida que diz que se, para qualquer , existe um tal que sempre que . Vamos seguir esses passos para demonstrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função:
Podemos fatorar o denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Queremos mostrar que fica maior que qualquer quando está suficientemente próximo de . Vamos calcular o módulo de :
Para que , precisamos que:
Passo 4
Vamos assumir que |z| >= 4 - de está próximo de 2 > 2K5 |z - 4i| , ou seja, |z - 4i| < 5K . Podemos escolher pequeno o suficiente para que seja aproximadamente . Assim, temos:
Se escolhermos , então . Substituindo na desigualdade:
Portanto, podemos escolher .
Passo 5
Com essa escolha de lim z 4i 5 z2 z - 8 i = infty , garantimos que sempre que , teremos . Isso confirma, segundo a definição, que:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício:
lim z infty 3 i z + 52 z - i = 3 i2
Aqui, queremos encontrar o limite da função quando tende ao infinito. Para isso, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e denominador.
Passo 7
Primeiro, identifiquemos os termos de maior grau em Numerador: 3i z + 5 (termo de maior grau: 3i z) no numerador e denominador:
Denominador: 2 z - i (termo de maior grau: 2 z)
3i z2 z = 3i2
Quando tende ao infinito, os termos constantes se tornam insignificantes, então podemos aproximar a função por:
Passo 8
Para formalizar, dividimos numerador e denominador por 3i z + 52 z - i = 3i + 5z2 - iz :
3i + 02 - 0 = 3i2
Quando tende ao infinito, e , então:
Passo 9
Portanto, o limite é:
lim z infty 3 i z + 52 z - i = 3 i2
Passo 10
Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício:
lim z infty z^2 - i3 z + 5 = infty
Aqui, queremos mostrar que a função tende ao infinito quando tende ao infinito.
Passo 11
Analisando os termos de maior grau no numerador e denominador:
Numerador: z^2 - i (termo de maior grau: z^2)
Denominador: 3 z + 5 (termo de maior grau: 3 z)
Quando tende ao infinito, o termo domina, então a função se comporta como , que tende ao infinito.
Passo 12
Formalizando, dividimos numerador e denominador por z^2 - i3 z + 5 = z - iz3 + 5z :