Calcule, caso exista, os seguintes limites:
(t) lim x +infty(1+1x)^7 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando vai para mais infinito da expressão . Esse problema está dentro do conteúdo de limites e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como usar a definição do número de Euler, , em limites do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar nosso trabalho. Podemos separar a potência 7:
(1+1x)^7x = [(1+1x)^x]^7

Passo 3

Agora, vamos focar no que está dentro dos colchetes: limx to +infty (1+1x)^x = e . Sabemos que, quando tende a infinito, essa expressão se aproxima de , que é aproximadamente 2.71828. Essa é uma definição fundamental de :

Passo 4

Com essa informação, podemos substituir na nossa expressão original:
[(1+1x)^x]^7 approx e^7

Passo 5

Portanto, o limite da expressão original quando vai para mais infinito é .

Resposta

lim x +infty(1+1x)^7 x = e^7

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