© Dê um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto que não seja ponto crítico.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa dar um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto (máximo ou mínimo global) que não seja um ponto crítico. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são extremos absolutos e pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, extremos absolutos são os maiores ou menores valores que a função alcança em todo o seu domínio. Já os pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Normalmente, para encontrar extremos, a gente olha para esses pontos críticos, mas a questão quer um caso onde o extremo não está em um ponto crítico.

Passo 3

Vamos pensar em uma função contínua em um intervalo fechado. Um exemplo clássico é uma função definida em um intervalo fechado onde o extremo absoluto está nas bordas desse intervalo, não nos pontos onde a derivada é zero.

Passo 4

Vamos usar a função definida no intervalo . Essa função é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Vamos analisar os extremos dessa função no intervalo :
  • Em , (mínimo absoluto).
  • Em , (máximo absoluto).

Passo 6

Agora, vamos ver se esses pontos são críticos. Calculando a derivada:
A derivada nunca é zero e está sempre definida nesse intervalo. Ou seja, não há pontos críticos onde o extremo ocorre.

Passo 7

Portanto, a função no intervalo tem um extremo absoluto nos pontos e , que não são pontos críticos.

Resposta

Um exemplo é a função definida no intervalo , que tem um mínimo absoluto em e um máximo absoluto em , sem que esses pontos sejam críticos.

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