© Dê um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto que não seja ponto crítico.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa dar um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto (máximo ou mínimo global) que não seja um ponto crítico. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são extremos absolutos e pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, extremos absolutos são os maiores ou menores valores que a função alcança em todo o seu domínio. Já os pontos críticos são aqueles onde a derivada da função é zero ou não existe. Normalmente, para encontrar extremos, a gente olha para esses pontos críticos, mas a questão quer um caso onde o extremo não está em um ponto crítico.
Passo 3
Vamos pensar em uma função contínua em um intervalo fechado. Um exemplo clássico é uma função definida em um intervalo fechado onde o extremo absoluto está nas bordas desse intervalo, não nos pontos onde a derivada é zero.
Passo 4
Vamos usar a função
definida no intervalo
. Essa função é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Vamos analisar os extremos dessa função no intervalo
:
- Em
, (mínimo absoluto). - Em
, (máximo absoluto).
Passo 6
Agora, vamos ver se esses pontos são críticos. Calculando a derivada:
A derivada nunca é zero e está sempre definida nesse intervalo. Ou seja, não há pontos críticos onde o extremo ocorre.
Passo 7
Portanto, a função
no intervalo
tem um extremo absoluto nos pontos
e
, que não são pontos críticos.
Resposta
Um exemplo é a função
definida no intervalo
, que tem um mínimo absoluto em
e um máximo absoluto em
, sem que esses pontos sejam críticos.
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Considere a função analítica
definida por
Encontre a Série de Maclaurin de
e seu intervalo de convergência.