(d) Dê um exemplo de uma função que tenha pelo menos um extremo absoluto em um ponto crítico.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a pergunta tá pedindo. A gente precisa dar um exemplo de uma função que tenha pelo menos um extremo absoluto em um ponto crítico. Isso tá relacionado ao cálculo diferencial, principalmente com conceitos de máximos e mínimos de funções. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e extremos absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função é onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser onde a função atinge um extremo (máximo ou mínimo).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre extremos absolutos. Um extremo absoluto é o maior ou o menor valor que a função atinge em todo o seu domínio. Ou seja, é o ponto mais alto ou mais baixo da função em todo o seu intervalo.

Passo 4

Vamos escolher uma função simples para facilitar. Que tal a função quadrática ? É uma função bem conhecida e fácil de trabalhar.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos críticos dessa função. Primeiro, calculamos a derivada de :
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 6

Vamos verificar se esse ponto crítico é um extremo absoluto. Observando a função , percebemos que ela é uma parábola que abre para cima. Isso significa que o ponto é o ponto mais baixo da função, ou seja, é um mínimo absoluto.

Resposta

Um exemplo é a função , que tem um mínimo absoluto no ponto crítico .

Exercícios relacionados

© Dê um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto que não seja ponto crítico.
Classifique as séries abaixo como Divergente, Condicionalmente convergente ou Absolutamente Convergente
Considere a função analítica definida por
Encontre a Série de Maclaurin de e seu intervalo de convergência.
Considere a função analítica definida por
O valor da série