(d) Dê um exemplo de uma função que tenha pelo menos um extremo absoluto em um ponto crítico.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a pergunta tá pedindo. A gente precisa dar um exemplo de uma função que tenha pelo menos um extremo absoluto em um ponto crítico. Isso tá relacionado ao cálculo diferencial, principalmente com conceitos de máximos e mínimos de funções. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e extremos absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função é onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem ser onde a função atinge um extremo (máximo ou mínimo).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre extremos absolutos. Um extremo absoluto é o maior ou o menor valor que a função atinge em todo o seu domínio. Ou seja, é o ponto mais alto ou mais baixo da função em todo o seu intervalo.
Passo 4
Vamos escolher uma função simples para facilitar. Que tal a função quadrática
? É uma função bem conhecida e fácil de trabalhar.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos críticos dessa função. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 6
Vamos verificar se esse ponto crítico é um extremo absoluto. Observando a função
, percebemos que ela é uma parábola que abre para cima. Isso significa que o ponto
é o ponto mais baixo da função, ou seja, é um mínimo absoluto.
Resposta
Um exemplo é a função
, que tem um mínimo absoluto no ponto crítico
.
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© Dê um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto que não seja ponto crítico.
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Considere a função analítica
definida por
Encontre a Série de Maclaurin de
e seu intervalo de convergência.
Considere a função analítica
definida por
O valor da série