Considere a função analítica f: R -> R definida por
f(x) = 3x / (x^2 - 4)
Encontre a Série de Maclaurin de f(x) e seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Maclaurin da função e descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, especialmente a Série de Maclaurin, que é uma expansão da função em torno de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a aplicação da série. Podemos reescrever da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, para usar a série geométrica básica, precisamos colocar o denominador no formato . Vamos fatorar o 4:

Passo 4

A série geométrica é dada por quando . Aqui, , então podemos expandir:

Passo 5

Agora, multiplicamos essa série pelo fator que estava na frente:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:

Passo 7

Portanto, a Série de Maclaurin de é:

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . Aqui, , então:

Resposta

A Série de Maclaurin de é
e seu intervalo de convergência é .

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