Encontre a Série de Maclaurin de e seu intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Maclaurin da função e descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, especialmente a Série de Maclaurin, que é uma expansão da função em torno de .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a aplicação da série. Podemos reescrever da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, para usar a série geométrica básica, precisamos colocar o denominador no formato . Vamos fatorar o 4:
Passo 4
A série geométrica é dada por quando . Aqui, , então podemos expandir:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa série pelo fator que estava na frente:
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Passo 7
Portanto, a Série de Maclaurin de é:
Passo 8
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . Aqui, , então: