Considere a função analítica definida por
Encontre a Série de Maclaurin de e seu intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Série de Maclaurin da função e descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, especialmente a Série de Maclaurin, que é uma expansão da função em torno de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a aplicação da série. Podemos reescrever da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, para usar a série geométrica básica, precisamos colocar o denominador no formato . Vamos fatorar o 4:

Passo 4

A série geométrica é dada por quando . Aqui, , então podemos expandir:

Passo 5

Agora, multiplicamos essa série pelo fator que estava na frente:

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:

Passo 7

Portanto, a Série de Maclaurin de é:

Passo 8

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . Aqui, , então:

Resposta

A Série de Maclaurin de é
e seu intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

(d) Dê um exemplo de uma função que tenha pelo menos um extremo absoluto em um ponto crítico.
© Dê um exemplo de uma função que tenha um extremo absoluto que não seja ponto crítico.
Considere a função analítica definida por
O valor da série
Determine os pontos críticos das funções a seguir:
(a) .