© * Existe alguma relação entre as matrizes de mudança de bases encontradas no item (b)? Qual?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema está perguntando se existe alguma relação entre as matrizes de mudança de base que encontramos no item (b). A gente está lidando com mudança de base, que é um tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma matriz de mudança de base e como essas matrizes se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Imagine que você tem dois conjuntos de vetores que formam bases diferentes para o mesmo espaço vetorial. A matriz de mudança de base serve para converter as coordenadas de um vetor de uma base para a outra. Se a gente tem a base A e a base B, a matriz que muda de A para B é diferente da que muda de B para A.

Passo 3

Agora, a relação chave aqui é que essas duas matrizes de mudança de base são inversas uma da outra. Isso significa que se você aplicar a matriz que vai de A para B e depois aplicar a matriz que vai de B para A, você volta para a base original A. Em termos matemáticos, se é a matriz que muda de A para B, então é o inverso de , ou seja:

Passo 4

Vamos detalhar um pouco mais: quando você tem uma matriz e seu inverso, multiplicando elas dá a matriz identidade. A matriz identidade é como o “1” das matrizes, ela não muda nada quando multiplicada por outra matriz. Então, aplicando seguido de dá:
onde é a matriz identidade.

Passo 5

Essa relação de inversão entre as matrizes de mudança de base é muito útil porque ela nos permite alternar entre diferentes sistemas de coordenadas de forma eficiente e garante que não perdemos informações durante a conversão.

Resposta

As matrizes de mudança de base encontradas no item (b) são inversas uma da outra.

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(b) .
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