Dê exemplo de:
Quatro vetores: e , sendo L.L., L.I., e não são combinação linear de e e L.D.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que dar um exemplo de quatro vetores e que atendam às seguintes condições:
O conjunto é linearmente dependente (L.L.).
O conjunto é linearmente independente (L.I.).
Os vetores e não são combinações lineares de e .
O conjunto é linearmente dependente (L.D.).
Para resolver isso, vamos escolher vetores no espaço por ser um espaço fácil de visualizar e trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos definir e de forma que sejam linearmente dependentes. Isso significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Por exemplo:
Aqui, , então é linearmente dependente.
Passo 3
Agora, vamos definir e de modo que sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores é múltiplo do outro, e não há combinação linear que gere um a partir do outro. Por exemplo:
Esses vetores não são múltiplos um do outro e são claramente independentes.
Passo 4
Precisamos garantir que e não sejam combinações lineares de e . Olhando para os vetores definidos:
Não há combinação de e que possa resultar em ou , pois os coeficientes necessários para resolver essas combinações não satisfazem as equações.
Passo 5
Finalmente, vamos verificar se o conjunto é linearmente dependente. Sabemos que já é dependente, então adicionar mais vetores não vai mudar isso. Mesmo que sejam independentes, o conjunto total ainda será dependente porque já existe uma dependência entre e .