Dê exemplo de:
Quatro vetores: V1, V2, V3 e V4, sendo V1, V2 L.L., V3, V4 L.I., V3 e V4 não são combinação linear de V1 e V2 e V1, V2, V3, V4 L.D.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que dar um exemplo de quatro vetores e que atendam às seguintes condições:
  1. O conjunto é linearmente dependente (L.L.).
  2. O conjunto é linearmente independente (L.I.).
  3. Os vetores e não são combinações lineares de e .
  4. O conjunto é linearmente dependente (L.D.).
Para resolver isso, vamos escolher vetores no espaço por ser um espaço fácil de visualizar e trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos definir V1 = 1 2 3 , V2 = 2 4 6 e de forma que sejam linearmente dependentes. Isso significa que um vetor pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar. Por exemplo:
Aqui, , então é linearmente dependente.

Passo 3

Agora, vamos definir V3 = 1 0 0 , V4 = 0 1 0 e de modo que sejam linearmente independentes. Isso significa que nenhum dos vetores é múltiplo do outro, e não há combinação linear que gere um a partir do outro. Por exemplo:
Esses vetores não são múltiplos um do outro e são claramente independentes.

Passo 4

Precisamos garantir que V1 = 1 2 3 , V2 = 2 4 6 e V3 = 1 0 0 , V4 = 0 1 0 não sejam combinações lineares de e . Olhando para os vetores definidos:
Não há combinação de e que possa resultar em ou , pois os coeficientes necessários para resolver essas combinações não satisfazem as equações.

Passo 5

Finalmente, vamos verificar se o conjunto é linearmente dependente. Sabemos que já é dependente, então adicionar mais vetores não vai mudar isso. Mesmo que sejam independentes, o conjunto total ainda será dependente porque já existe uma dependência entre e .

Resposta

Um exemplo que satisfaz todas as condições é:
V1 = 1 2 3 , V2 = 2 4 6 , V3 = 1 0 0 , V4 = 0 1 0

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