Seja um subespaço de .
Determine um conjunto de geradores para .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto definido por:
O conteúdo da matéria envolve espaços vetoriais e geradores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar como combinações lineares de vetores específicos.
Passo 2
Vamos reescrever cada componente do vetor em separadamente em termos de , e :
Isso ajuda a visualizar como cada vetor em V é construído a partir dos escalares a, b e c.
Passo 3
Agora, podemos expressar o vetor (x, y, z) como uma combinação linear dos vetores associados a a, b e c:
(x, y, z) = a cdot (3, 2, -2) + b cdot (4, -4, -4) + c cdot (-4, -6, 2)
Aqui, (3, 2, -2) está associado a a, (4, -4, -4) a b e (-4, -6, 2) a c.
Passo 4
Portanto, os vetores que geram V são:
v1 = (3, 2, -2) v2 = (4, -4, -4) v3 = (-4, -6, 2)
Esses vetores são chamados de geradores porque qualquer vetor em V pode ser obtido combinando esses três vetores com escalares adequados.