Seja V=(3 a+4 b-4 c, 2 a-4 b-6 c,-2 a-4 b+2 c) mid a, b, c in R um subespaço de R^3.
Determine um conjunto de geradores para V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto V definido por:
V = (3a + 4b - 4c,; 2a - 4b - 6c,; -2a - 4b + 2c) mid a, b, c in R
O conteúdo da matéria envolve espaços vetoriais e geradores. Para resolver, vamos precisar entender como expressar V como combinações lineares de vetores específicos.

Passo 2

Vamos reescrever cada componente do vetor em V separadamente em termos de a, b e c:
x = 3a + 4b - 4c y = 2a - 4b - 6c z = -2a - 4b + 2c
Isso ajuda a visualizar como cada vetor em V é construído a partir dos escalares a, b e c.

Passo 3

Agora, podemos expressar o vetor (x, y, z) como uma combinação linear dos vetores associados a a, b e c:
(x, y, z) = a cdot (3, 2, -2) + b cdot (4, -4, -4) + c cdot (-4, -6, 2)
Aqui, (3, 2, -2) está associado a a, (4, -4, -4) a b e (-4, -6, 2) a c.

Passo 4

Portanto, os vetores que geram V são:
v1 = (3, 2, -2) v2 = (4, -4, -4) v3 = (-4, -6, 2)
Esses vetores são chamados de geradores porque qualquer vetor em V pode ser obtido combinando esses três vetores com escalares adequados.

Resposta

Um conjunto de geradores para V é dado por
, (3,; 2,; -2),;, (4,; -4,; -4),;, (-4,; -6,; 2) ,

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