Calcule:
& integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x-y) d x d y d z & integral1^2 integral0^2 z integral0^ln x x e^-y d y d x d z & integral0^pi / 2 integral0^y integral0^x cos (x+y+z) d z d x d y & integral0^raizpi integral0^x integral0^x z x^2 sen y d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira integral tripla. O enunciado pede para calcular:
integral0^2 integral0^z^2 integral0^y-z(2 x - y) , dx , dy , dz
Aqui, estamos lidando com integração múltipla no cálculo. Para resolver isso, vamos integrar uma variável de cada vez, começando por , depois e finalmente .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^y-z (2x - y) , dx . A integral interna é:
integral (2x - y) , dx = x^2 - yx
Para isso, encontramos a antiderivada de [ (y - z)^2 - y(y - z) ] - [ 0 - 0 ] = (y^2 - 2yz + z^2) - (y^2 - yz) = -yz + z^2 em relação a :
Agora, avaliamos de até :

Passo 3

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^z^2 (-yz + z^2) , dy :
- z integral0^z^2 y , dy + z^2 integral0^z^2 dy = - z [ y^22 ]0^z^2 + z^2 [y]0^z^2 = - z ( (z^2)^22 ) + z^2(z^2) = -z^52 + z^4
Isso dá:

Passo 4

Por último, integramos em relação a integral0^2 ( z^4 - z^52 ) , dz = integral0^2 z^4 , dz - 12 integral0^2 z^5 , dz :
integral z^4 , dz = z^55 e integral z^5 , dz = z^66
Calculando cada parte:
[ 2^55 ] - 12 [ 2^66 ] = 325 - 6412 = 325 - 163 = 96 - 8015 = 1615
Avaliando de até :

Passo 5

Agora vamos para a segunda integral:
integral1^2 integral0^2 z integral0^ln x x e^-y , dy , dx , dz
Vamos resolver passo a passo, integrando primeiro em relação a , depois e por último .

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^ln x x e^-y , dy :
x [ -e^-y ]0^ln x = x ( -e^-ln x + e^0 ) = x ( -1x + 1 ) = -1 + x
Aqui, é tratado como uma constante. A antiderivada de é :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^2z (x - 1) , dx = integral0^2z x , dx - integral0^2z 1 , dx :
x^22 |0^2z - x |0^2z = (2z)^22 - 2z = 4z^22 - 2z = 2z^2 - 2z
Calculando cada parte:

Passo 8

Por fim, integramos em relação a integral1^2 (2z^2 - 2z) , dz = 2 integral1^2 z^2 , dz - 2 integral1^2 z , dz :
2 [ z^33 ]1^2 - 2 [ z^22 ]1^2 = 2 ( 83 - 13 ) - 2 ( 42 - 12 ) = 2 cdot 73 - 2 cdot 32 = 143 - 3 = 143 - 93 = 53
Calculando cada parte:

Passo 9

Vamos resolver a terceira integral:
integral0^pi2 integral0^y integral0^x cos(x + y + z) , dz , dx , dy
Essa é uma integral tripla onde iremos integrar em ordem de , e depois .

Passo 10

Primeiro, integramos em relação a integral0^x cos(x + y + z) , dz :
sin(x + y + z) |0^x = sin(x + y + x) - sin(x + y + 0) = sin(2x + y) - sin(x + y)
Aqui, e são tratados como constantes. A antiderivada de em relação a é :

Passo 11

Agora, integramos em relação a integral0^y [sin(2x + y) - sin(x + y)] , dx :
-12 cos(2x + y) + cos(x + y) |0^y
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro, -12 cos(2y + y) + cos(y + y) = -12 cos(3y) + cos(2y) :
A antiderivada de -12 cos(y) + cos(y) = 12 cos(y) é ( -12 cos(3y) + cos(2y) ) - 12 cos(y) = -12 cos(3y) + cos(2y) - 12 cos(y) .
Segundo, :
A antiderivada de é .
Então, temos:
Avaliando em e :
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 12

Por fim, integramos em relação a integral0^pi2 ( -12 cos(3y) + cos(2y) - 12 cos(y) ) , dy :
16 + 0 - 12 = 16 - 36 = -26 = -13
Calculando cada parte:
Avaliando de até :
Somando tudo:

Passo 13

Vamos para a quarta integral:
integral0^raizpi integral0^x integral0^x z x^2 sin(y) , dy , dz , dx
Aqui, temos uma integral tripla que iremos resolver integrando primeiro em relação a , depois e finalmente .

Passo 14

Primeiro, integramos em relação a integral0^x z x^2 sin(y) , dy :
x^2 integral0^x z sin(y) , dy
Como x^2 [ -cos(y) ]0^x z = x^2 ( -cos(x z) + cos(0) ) = x^2 (1 - cos(x z)) é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A antiderivada de é :

Passo 15

Agora, integramos em relação a integral0^x x^2 (1 - cos(x z)) , dz = x^2 integral0^x (1 - cos(x z)) , dz :
x^2 [ integral0^x 1 , dz - integral0^x cos(x z) , dz ]
Vamos separar as integrais:
integral cos(u) cdot dux = 1x sin(u) = 1x sin(x z)
Calculando cada parte:
  1. 1x ( sin(x cdot x) - sin(0) ) = 1x sin(x^2)
  2. x^2 ( x - 1x sin(x^2) ) = x^3 - x sin(x^2) : fazemos substituição , então , .
    Então:
    Avaliando de até :
Então, temos:

Passo 16

Por último, integramos em relação a integral0^raizpi (x^3 - x sin(x^2)) , dx :
12 integral sin(u) , du = -12 cos(u) = -12 cos(x^2)
Vamos separar as integrais:
  1. pi^24 - 1
  2. : fazemos substituição , então , .
    Então:
Avaliando de até :
Então, somando tudo:

Resposta

O valor da quarta integral é .

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