(a) Na função
satisfaz a equação de Laplace, isto é,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa verificar se ela satisfaz a equação de Laplace, que é
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
e ver se a soma delas dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada parcial. É a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Já a equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em vários contextos da física e matemática, como no estudo de potenciais eletrostáticos e fluxos de calor. Se uma função satisfaz essa equação, ela é chamada de harmônica.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
.
A função é
. A derivada da função logarítmica
em relação a
é
, multiplicando pela derivada de
em relação a
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Temos
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra do quociente:
Passo 5
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Usando a mesma lógica:
Passo 6
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Temos
. Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas parciais:
Resposta
A soma das derivadas parciais de segunda ordem não é igual a zero, ou seja,
Portanto, a função
não satisfaz a equação de Laplace.