(a) Na função f(x, y)=ln (x^2-y^2) satisfaz a equação de Laplace, isto é, partial^2partial x^2+partial^2partial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa verificar se ela satisfaz a equação de Laplace, que é . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a e e ver se a soma delas dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada parcial. É a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Já a equação de Laplace é uma equação diferencial que aparece em vários contextos da física e matemática, como no estudo de potenciais eletrostáticos e fluxos de calor. Se uma função satisfaz essa equação, ela é chamada de harmônica.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de partial fpartial x = 1x^2 - y^2 cdot partialpartial x(x^2 - y^2) = 1x^2 - y^2 cdot 2x = 2xx^2 - y^2 em relação a .
A função é . A derivada da função logarítmica em relação a é , multiplicando pela derivada de em relação a .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2fpartial x^2 = (2)(x^2 - y^2) - 2x(2x)(x^2 - y^2)^2 = 2x^2 - 2y^2 - 4x^2(x^2 - y^2)^2 = -2x^2 - 2y^2(x^2 - y^2)^2 = -2(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)^2 em relação a .
Temos . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do quociente:

Passo 5

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial y = 1x^2 - y^2 cdot partialpartial y(x^2 - y^2) = 1x^2 - y^2 cdot (-2y) = -2yx^2 - y^2 em relação a .
Usando a mesma lógica:

Passo 6

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de partial^2fpartial y^2 = -2(x^2 - y^2) - (-2y)(-2y)(x^2 - y^2)^2 = -2x^2 + 2y^2 - 4y^2(x^2 - y^2)^2 = -2x^2 - 2y^2(x^2 - y^2)^2 = -2(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)^2 em relação a .
Temos . Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas parciais:
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = (-2(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)^2 ) + (-2(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)^2 ) = -4(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)^2

Resposta

A soma das derivadas parciais de segunda ordem não é igual a zero, ou seja,
partial^2fpartial x^2 + partial^2fpartial y^2 = -4(x^2 + y^2)(x^2 - y^2)^2 neq 0
Portanto, a função não satisfaz a equação de Laplace.

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