© Por que a função exponencial
natural é usada mais frequentemente em cálculo do que as outras funções exponenciais
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta por que a função exponencial natural
é mais usada em cálculo do que outras funções exponenciais do tipo
. Vamos precisar entender o que são funções exponenciais e o papel da constante
no cálculo para responder isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função exponencial. Uma função exponencial geral tem a forma
, onde
é a base e
é o expoente. A constante
é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828, e quando a base
é igual a
, temos a função exponencial natural:
.
Passo 3
Agora, por que
é tão especial no cálculo? Bem, a principal razão é que a derivada da função
é ela mesma. Ou seja:
Isso torna os cálculos envolvendo derivadas e integrais muito mais simples e elegantes.
Passo 4
Em contraste, se usarmos outra base, digamos
, a derivada de
não é simplesmente
. Na verdade, usamos a regra:
Aqui,
aparece como um fator extra, complicando um pouco os cálculos.
Passo 5
Além disso, a função
está profundamente ligada a outros conceitos matemáticos, como séries de Taylor, equações diferenciais e crescimento contínuo, o que a torna uma ferramenta fundamental no cálculo e em outras áreas da matemática.
Resposta
A função exponencial natural
é mais usada em cálculo porque sua derivada é ela mesma, simplificando os cálculos de derivadas e integrais. Além disso, a constante
está intimamente ligada a muitos conceitos matemáticos, tornando
uma ferramenta essencial e mais eficiente em processos de cálculo em comparação com outras funções exponenciais de base
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada de cada função.
Enuncie cada regra da derivação em símbolos:
A Regra do Quociente
A Regra do Quociente
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
b) Se for derivável, entiso
b) Se
1-50 Calcule
.