© Por que a função exponencial natural é usada mais frequentemente em cálculo do que as outras funções exponenciais ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta por que a função exponencial natural é mais usada em cálculo do que outras funções exponenciais do tipo . Vamos precisar entender o que são funções exponenciais e o papel da constante no cálculo para responder isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função exponencial. Uma função exponencial geral tem a forma , onde é a base e é o expoente. A constante é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828, e quando a base é igual a , temos a função exponencial natural: .

Passo 3

Agora, por que é tão especial no cálculo? Bem, a principal razão é que a derivada da função é ela mesma. Ou seja:
Isso torna os cálculos envolvendo derivadas e integrais muito mais simples e elegantes.

Passo 4

Em contraste, se usarmos outra base, digamos , a derivada de não é simplesmente . Na verdade, usamos a regra:
Aqui, aparece como um fator extra, complicando um pouco os cálculos.

Passo 5

Além disso, a função está profundamente ligada a outros conceitos matemáticos, como séries de Taylor, equações diferenciais e crescimento contínuo, o que a torna uma ferramenta fundamental no cálculo e em outras áreas da matemática.

Resposta

A função exponencial natural é mais usada em cálculo porque sua derivada é ela mesma, simplificando os cálculos de derivadas e integrais. Além disso, a constante está intimamente ligada a muitos conceitos matemáticos, tornando uma ferramenta essencial e mais eficiente em processos de cálculo em comparação com outras funções exponenciais de base .

Exercícios relacionados

Determine a derivada de cada função.
Enuncie cada regra da derivação em símbolos:
A Regra do Quociente
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
b) Se for derivável, entiso
1-50 Calcule .