c) i(x) = |c(x + 3) + 4|
z( \bar{z} + x) = x ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é a função e a expressão . Vamos resolver isso passo a passo. Para isso, vamos precisar entender sobre funções absolutas e números complexos, já que temos o símbolo , que representa o conjugado de um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na função . Essa é uma função que envolve o valor absoluto. O valor absoluto, representado pelas barras , indica a distância do número em relação a zero na reta numérica, sempre sendo um valor não negativo.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Distribuindo o :
Então, a função fica:

Passo 4

Para analisar essa função, precisamos considerar dois casos devido ao valor absoluto:
  1. Quando :
    Nesse caso, o valor absoluto não altera o sinal, então:
  2. Quando :
    Aqui, o valor absoluto muda o sinal para positivo, então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda expressão: . Aqui, é um número complexo e é o seu conjugado.
Sabemos que um número complexo pode ser representado como:
Onde é a parte real e é a parte imaginária. O conjugado de é:

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
Distribuindo:
Lembrando que :

Passo 7

Simplificando os termos:
  • Os termos e se cancelam.
  • O termo , mas como já temos , fica .
Então:

Passo 8

Para que essa igualdade seja verdadeira, as partes reais e imaginárias devem ser iguais dos dois lados da equação. O lado direito é um número real, então a parte imaginária deve ser zero.
Parte Real:
Parte Imaginária:

Passo 9

Primeiro, da parte imaginária:
Como é uma variável e pode assumir qualquer valor, para essa igualdade ser verdadeira para todo , o coeficiente deve ser zero:
Isso implica que .

Passo 10

Com , a parte real fica:
Rearranjando:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser zero.
Então:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 11

Encontramos e , o que é uma contradição. Isso significa que a única solução possível é e , mas isso não satisfaz . Portanto, a única solução válida é:

Resposta

A solução da equação é .

Exercícios relacionados

Considere as seguintes funções abaixo:
a) a(x) = x + 3
d) d(x) = 3^(x-1) - 1
b) b(x) = |x + 3| - 2
e) f(x) = log2(x+1) + 2
c) c(x) = (x + 1)^(2) - 4
f) g(x) = 1/(x+2) - 1
Determine as expressões algébricas das funções compostas indicadas.
a) g(x) = a(b(x))
I + |ε + x| = x E
d) j(x) = d(x + 1)
I - x £ = (x) ρ
e) k(x) = f(x-1) - 2
(x)^Z 8 O I = (x) y