c)Imagine que a constante de Planck valesse 1 Js ao invés do seu valor real. Avalie nosso mundo macroscópico em termos do principio da incerteza nessa situação. (resposta de no máximo meia pagina)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para imaginarmos que a constante de Planck (
) vale 1 Js em vez do valor real (
Js). O assunto aqui é o Princípio da Incerteza de Heisenberg, que faz parte da mecânica quântica. Para resolver, vamos precisar entender como o valor de
influencia as incertezas nas medições de posição e quantidade de movimento de partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio da Incerteza. Ele diz que não é possível conhecer simultaneamente a posição (
) e a quantidade de movimento (
) de uma partícula com precisão absoluta. A relação é dada por:
Então, se
Js, a desigualdade fica:
Passo 3
Agora, no nosso mundo macroscópico, as partículas geralmente têm grande quantidade de movimento (
) e são grandes em tamanho (
). Com
, essa relação de incerteza nos diz que o produto das incertezas em posição e quantidade de movimento é maior do que antes.
Passo 4
Isso significa que, em escala macroscópica, as incertezas seriam muito maiores. Por exemplo, se quisermos medir a posição de um objeto com precisão de 1 metro (
m), a incerteza na quantidade de movimento seria pelo menos:
Isso tornaria difícil controlar ou prever o comportamento de objetos grandes, já que sempre haveria uma grande incerteza em suas quantidades de movimento.
Passo 5
Na prática, com
Js, o mundo macroscópico seria muito diferente. Objetos como carros, planetas e pessoas não teriam trajetórias estáveis, pois as incertezas seriam tão grandes que não conseguiríamos definir com precisão onde eles estão ou como estão se movendo. Isso eliminaria a previsibilidade que observamos no dia a dia.
Resposta
Se a constante de Planck fosse 1 Js, o Princípio da Incerteza tornaria as incertezas em posição e quantidade de movimento tão grandes que o mundo macroscópico perderia sua estabilidade e previsibilidade, tornando impossível controlar ou prever o comportamento de objetos grandes com precisão.
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O estado geral do sistema pode ser dado por:
(a) Calcule a condição de normalização para os coeficientes
Tomando
temos o chamado poço de potencial infinito, que representa (bem) aproximadamente a situação de um elétron livre (a) Obtenha os autoestados (normalizados) e autovalores possíveis para um elétron no poço infinito (x entre
).
Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
(b)
(b)
Suponha que no tempo
, a função de onda do elétron é dada por:
sendo a função de índice 1 o estado fundamental e a de índice 2 o primeiro estado excitado. Escreva a função de onda
para um tempo
.