Suponha que no tempo t=0, a função de onda do elétron é dada por:
Psi(x, 0)=raiz27 psi1(x)+raiz57 psi2(x)
sendo a função de índice 1 o estado fundamental e a de índice 2 o primeiro estado excitado. Escreva a função de onda Psi(x, t) para um tempo t>0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de onda inicial do elétron, que é uma combinação das funções de onda dos estados fundamentais e primeiro estado excitado. Nosso objetivo é encontrar como essa função de onda evolui no tempo, ou seja, determinar Psi(x, t) para qualquer tempo t > 0. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de mecânica quântica, como a superposição de estados e a evolução temporal das funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, cada estado próprio psin(x) tem uma energia associada En. Quando uma função de onda é uma combinação linear de estados próprios, cada componente dessa combinação evolui no tempo de maneira independente, adquirindo um fator de fase complexo que depende da energia do estado.

Passo 3

A fórmula geral para a evolução temporal de uma função de onda que é uma combinação de estados próprios é:
Psi(x, t) = sumn cn psin(x) e^-i En t / hbar
Aqui, cn são os coeficientes que pesam cada função de onda no estado inicial, En é a energia do estado n, e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

No nosso caso, a função de onda inicial é:
Psi(x, 0) = raiz27 psi1(x) + raiz57 psi2(x)
Isso significa que c1 = raiz27 e c2 = raiz57. Cada um desses coeficientes multiplica a respectiva função de onda do estado próprio.

Passo 5

Aplicando a fórmula da evolução temporal, substituímos os valores de cn e adicionamos o fator de fase para cada estado:
Psi(x, t) = raiz27 psi1(x) e^-i E1 t / hbar + raiz57 psi2(x) e^-i E2 t / hbar
Esse é o jeito de cada componente da função de onda inicial evoluir no tempo de forma independente, mantendo a superposição dos estados.

Resposta

A função de onda para o tempo t > 0 é:
Psi(x, t) = raiz27, psi1(x), e^-i E1 t / hbar + raiz57, psi2(x), e^-i E2 t / hbar

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Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
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c)Imagine que a constante de Planck valesse 1 Js ao invés do seu valor real. Avalie nosso mundo macroscópico em termos do principio da incerteza nessa situação. (resposta de no máximo meia pagina)
Uma partícula de carga q1=-16 mu C está localizada em x=0, e uma partícula de carga q2=2 mu C está localizada em x=L. Em que ponto ao longo do eixo x o campo elétrico resultante é nulo?
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