Suponha que no tempo
, a função de onda do elétron é dada por:
sendo a função de índice 1 o estado fundamental e a de índice 2 o primeiro estado excitado. Escreva a função de onda
para um tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de onda inicial do elétron, que é uma combinação das funções de onda dos estados fundamentais e primeiro estado excitado. Nosso objetivo é encontrar como essa função de onda evolui no tempo, ou seja, determinar
para qualquer tempo
. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de mecânica quântica, como a superposição de estados e a evolução temporal das funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, cada estado próprio
tem uma energia associada
. Quando uma função de onda é uma combinação linear de estados próprios, cada componente dessa combinação evolui no tempo de maneira independente, adquirindo um fator de fase complexo que depende da energia do estado.
Passo 3
A fórmula geral para a evolução temporal de uma função de onda que é uma combinação de estados próprios é:
Aqui,
são os coeficientes que pesam cada função de onda no estado inicial,
é a energia do estado
, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
No nosso caso, a função de onda inicial é:
Isso significa que
e
. Cada um desses coeficientes multiplica a respectiva função de onda do estado próprio.
Passo 5
Aplicando a fórmula da evolução temporal, substituímos os valores de
e adicionamos o fator de fase para cada estado:
Esse é o jeito de cada componente da função de onda inicial evoluir no tempo de forma independente, mantendo a superposição dos estados.
Resposta
A função de onda para o tempo
é: