Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
(b) [X^n, p]=i hbar n x^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a relação entre os operadores [X^n, p] = i hbar n X^n-1 e é dada por:
Esse problema está dentro do estudo da mecânica quântica, especificamente envolvendo comutadores de operadores. Para resolver, vamos precisar lembrar como os operadores posição ( ) e momento ( ) se comportam e usar propriedades dos comutadores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o comutador básico entre posição e momento:
[X, p] = Xp - pX = i hbar
Esse é um resultado fundamental na mecânica quântica que relaciona a posição e o momento de uma partícula.

Passo 3

Agora, queremos estender esse resultado para . Para isso, vamos usar uma propriedade dos comutadores que nos permite expandir . A ideia é aplicar o comutador de com várias vezes.

Passo 4

Vamos aplicar a regra do comutador para múltiplas potências. Sabemos que:
[X^n, p] = X^n-1[X, p] + [X^n-1, p]X
Substituindo o comutador básico:
[X^n, p] = X^n-1(i hbar) + [X^n-1, p]X
Repetindo esse processo vezes, descobrimos que cada iteração adiciona um fator de e reduz a potência de em 1.

Passo 5

Após aplicar a regra várias vezes, chegamos à conclusão geral:
[X^n, p] = i hbar n X^n-1
Isso mostra que o comutador entre e é proporcional a com um fator .

Resposta

[X^n, p] = i hbar n X^n-1

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