Mostre que valem as seguintes relações entre operadores:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a relação entre os operadores
e
é dada por:
Esse problema está dentro do estudo da mecânica quântica, especificamente envolvendo comutadores de operadores. Para resolver, vamos precisar lembrar como os operadores posição (
) e momento (
) se comportam e usar propriedades dos comutadores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o comutador básico entre posição e momento:
Esse é um resultado fundamental na mecânica quântica que relaciona a posição e o momento de uma partícula.
Passo 3
Agora, queremos estender esse resultado para
. Para isso, vamos usar uma propriedade dos comutadores que nos permite expandir
. A ideia é aplicar o comutador de
com
várias vezes.
Passo 4
Vamos aplicar a regra do comutador para múltiplas potências. Sabemos que:
Substituindo o comutador básico:
Repetindo esse processo
vezes, descobrimos que cada iteração adiciona um fator de
e reduz a potência de
em 1.
Passo 5
Após aplicar a regra várias vezes, chegamos à conclusão geral:
Isso mostra que o comutador entre
e
é proporcional a
com um fator
.